Mostrando que un número real es un entero algebraico

Question

Para qué valores de a $x,y,z\in\mathbb{Z}$, de tal manera que $0\leq x,y,z\leq 2, $ el número real $$\alpha:=\frac{1}{3}\left(x+\sqrt[3]{175} \cdot y+\sqrt[3]{245}\cdot z\right)$$ is an algebraic integer i.e. root of a monic polynomial in $\mathbb{Z}[x]$ ?

Traté de calcular la norma, pero el cálculo es llegar feo. También si podemos encontrar los $x,y,z $ para que el $\mathbb{Z}$-módulo generado por $1,\alpha ,\alpha^2,\ldots$ es finitely generado, entonces, esos son los necesarios algebraica de los números enteros. Se puede hacer esto ? También me gustaría saber si hay alguna otra solución más simple.

Answer 1

Deje $\vartheta=\sqrt[3]{175}$, y deje $K=\mathbb{Q}(\vartheta)$. Entonces se puede demostrar que $1, \vartheta, \frac{\vartheta^2}{5}$ es una parte integral de base para $K$. Esto debería motivar hacia el descubrimiento de que $\sqrt[3]{245}=\frac{\vartheta^2}{5}$, y, por tanto,$\alpha=\frac{1}{3}(x+y\vartheta+\frac{z}{5}\vartheta^2)$.

Así que usted requeriría $3\mid x,y,z$ si $\alpha$ iba a ser un entero algebraico. Dado que el $0\le x,y,z\le 2$, esto sólo puede suceder si $x=y=z=0$.

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Edit. De nuevo vamos a $K=\mathbb{Q}(\vartheta)\cong\mathbb{Q}[x]/(x^3-175)=\mathbb{Q}[x]/(f)$. Recordemos que $\Delta(\vartheta)=[\mathcal{O}_K:\mathbb{Z}[\vartheta]]^2\Delta_K$, e $\Delta(\vartheta)=-27(-175)^2=-826875=-3^3\cdot 5^4\cdot 7^2$. Así que la única racional de los números primos que se podría dividir el índice $3$, $5$, y $7$, y podemos factor de $(3)$, $(5)$, y $(7)$ a ver si son o no hacer..

( $p=3$ ), A continuación, $f(x)=(x-2)^3$ modulo $3$. Desde $3^2\nmid f(2)$, $(3)=\mathfrak{p}_3^3$, donde $\mathfrak{p}_3=(3,\vartheta-2)$ es invertible: lo $3$ no dividir el índice.

( $p=7$ ), A continuación, $f(x)=x^3$ modulo $7$. Desde $7^2\nmid f(0)$, $(7)=\mathfrak{p}_7^3$, donde $\mathfrak{p}_7=(7,\vartheta)$ es invertible: lo $7$ no dividir el índice.

( $p=5$ ), A continuación, $f(x)=x^3$ nuevo modulo $5$. Pero $5^2\mid f(0)$, por lo que sabemos que tenemos que ampliar nuestro círculo, y podemos tomar un elemento en $\mathcal{O}_K\setminus\mathbb{Z}[\vartheta]$. Cuando se divide $f(x)$ $x$ (es irreductible factor modulo $5$), obtenemos $f(x)=\color{red}{x^2}\cdot x-175$, por lo tanto $\frac{\vartheta^2}{5}\in\mathcal{O}_K\setminus\mathbb{Z}[\alpha]$.

Ahora el polinomio mínimo de a$\frac{\vartheta^2}{5}$$g(x)=x^3-245$, e $g(x)=x^3$ modulo $5$. Desde $5^2\nmid g(0)$, sabemos que este es el único elemento que tenemos que añadir a $\mathbb{Z}[\vartheta]$, e $\mathcal{O}_K=\mathbb{Z}[\vartheta, \frac{\vartheta^2}{5}]$.

Answer 2

$5 \, \sqrt[3]{245} = ( \sqrt[3]{175})^2$.