Simple no cerrado geodésica.

Question

En toro existe simples no cerrado geodésica. Un ejemplo es tomar lo irracional de la pendiente de las curvas en $\mathbb{R}^2$ y el proyecto a toro. Es esta cosa puede suceder en cerrado superficie hiperbólica es decir,

No existe una simple no-cerrado geodésica en un sistema cerrado (es decir, compacta sin límite) superficie hiperbólica?

Answer 1

Para cerrar hiperbólico superficies con curvatura negativa constante), la respuesta es sí. Esto se muestra mediante la exhibición de un transitiva geodésica de flujo en la superficie. En este papel por Hedlund, la suficiente propiedad de que el flujo se denomina regional de transitividad e implica la existencia de un simple densa geodésica en la superficie de la $M$. Como la geodésica es denso en $M$, no puede ser cerrado.

En el documento mencionado, se establece en el Teorema 3.1 que hay una contables número de periódicos geodesics y así, en cierto sentido, 'la mayoría' geodesics en $M$ son no cerrado. Para realmente construir una geodésica (aunque no necesariamente simple), la técnica estándar es el uso de 'simbólico trayectorias' que Hedlund insinúa en la última sección del documento. Esencialmente, usted puede levantar cualquier geodésica en $M$ a su cobertura universal por el plano hiperbólico y crear un bi-secuencia infinita asociados a la línea geodésica que indica que los bordes de la fundamental regiones de la línea geodésica que pasa a través de ustedes como caminando a lo largo' de la línea geodésica. Dicha secuencia se denomina a veces una secuencia de corte. Admisible de corte de las secuencias pueden ser totalmente clasificados locales las reglas de configuración y así, solo es cuestión de encontrar un no-periódico admisible de corte de las secuencias, que se corresponden a las no periódicas (y, por tanto, no cerrado) geodesics en la superficie de la $M$.

Para una introducción a la corte de las secuencias, y sus hermosos vínculos con fracciones continuas (así como la construcción de un no-periódicas de la geodésica sobre la superficie modular), recomiendo la lectura de este maravilloso y fácil de leer el artículo por Caroline Serie.

Answer 2

Vamos a llamar a $\Sigma$ cerrado superficie hiperbólica. Cada homotopy clase de curvas sobre una superficie hiperbólica tiene exactamente una geodésica representante. Por el contrario, una cerrada geodésica da un libre homotopy clase. Por lo tanto (hasta el punto de base) hay una correspondencia bijective $$\bigg\{ \mbox{ closed geodesics }\bigg\} \longleftrightarrow \pi_1(\Sigma).$$

Desde $\pi_1(\Sigma)$ es finitely generado, es una contables conjunto. En particular, se levanta a una contables conjunto de geodesics en $\mathbb{H}^2$. Todas y cada una geodésica en $\Sigma$ puede obtenerse pulsando un geodésica de $\mathbb{H}^2$ adelante bajo la cobertura de mapa, por lo que el conjunto de todos los geodesics de $\Sigma$ ascensores para el conjunto de geodesics de $\mathbb{H}^2$, que es incontable. Así que hay muchas más abierto geodesics que cerrado geodesics en $\Sigma$.

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He aquí un ejemplo simple de un no-cerrada cilindro hiperbólico que ilustra el fenómeno. Deje $\Sigma = \mathbb{H}^2/\mathbb{Z}$, donde el $\mathbb{Z}$ acción está dado por $z\mapsto \lambda z$, para algunas de las $\lambda > 1$. El único y cerrado geodésica es la imagen (en el cociente) de la $y$-eje. Tomar cualquier otra geodésica que limita a $0$ y empuje hacia abajo bajo la cobertura del mapa; en espiral de un lado del cilindro y el límite para el cerrado geodésica.