SUGERENCIA $\ \ \ \rm ad = bc\ \:\Rightarrow\:\ (a,b)\:(a,c)\: =\ (aa,ab,ac,bc)\: =\: a\:(a,b,c,d)\: =\: a\:,\:$ $\rm\:(a,b) = 1\:.\:$
Por lo tanto $\rm\:(a,c) = a\:,\:$ $\rm\:a\:|\:c\:.\:$ se utilizó sólo la básica MCD leyes (distributiva, conmutativa, asociativa).
Alternativamente $\rm\:(a,bc) = (a\:(1,c),bc) = (a,ac,bc) = (a,(a,b)c)\ [\:= (a,c)\quad if\quad (a,b) = 1]$
Ver aquí para mucho más en esta prueba, esp. sobre cómo ver en analogía con la aritmética de enteros.
Alternativamente, si usted sabe que el LCM $\cdot$ MCD ley $\rm\ [a,b]\: (a,b)\: =\: ab\ $, entonces, el empleo de esta ley,
tenemos $\rm\ \ \: a,b\:|\:bc\ \:\Rightarrow\ \: [a,b]\:|\:bc\ \ \Rightarrow\:\ ab\:|(a,b)\:bc\ \Rightarrow\ a\:|\:(a,b)\:c\:,\ $ $\rm\:a\:|\:c\:$ al $\rm\:(a,b)= 1\:.$
Esta parece ser la prueba de que Sierpinski tiene en mente desde antes de su prueba es simplemente el caso especial donde $\rm\ \ (a,b)= 1\:,\: $ y se emplea la consiguiente especialización de las anteriores $\ $ LCM $\cdot$ MCD $\ $ la ley, de manera explícita que se $\rm\ (a,b) = 1\ \Rightarrow\ [a,b] = ab\:$.
Para una prueba de la LCM $\cdot$ MCD ley más simple que el de Sierpinski a ver la línea universal de la prueba del Teorema de aquí. Esto no sólo es una prueba más simple, pero también es más general - funciona en cualquier dominio.
Tenga en cuenta también que el resultado que usted busca es un caso especial de los poderosos $\:$ Euler número cuatro teorema (Vierzahlensatz),$\:$ o $\:$ Riesz interpolación, o $\:$ Schreier refinamiento. Para otro ejemplo de la simplicidad de las pruebas que se fundó en la fundamental MCD leyes (asociativa, conmutativa, distributiva, y de absorción de las leyes), ver mi post sobre el Primer año de el Sueño de $\rm\: (A+B)^n =\: A^n + B^n\ $ para GCDs / Ideales, $\:$ si $\rm\: A+B\ $ es cancellative. Es ventajoso para el presente dpc pruebas usando estas leyes fundamentales (frente a la Bezout forma lineal), ya que tales pruebas se generalizará mejor (por ejemplo, a los ideales de la aritmética) y, por otra parte, dado que estas leyes son tan similares a la aritmética de enteros, se pueden reutilizar son perfeccionado la experiencia de la manipulación de expresiones obedecer dijo conocidas leyes de la aritmética. Para ejemplos ver, dijo la estudiante de Primer año el Sueño de publicar.
[combinado para la preservación de un eliminan la pregunta]
Sugerencia $\rm\ \ (n,ab)\ =\ (n,nb,ab)\ =\ (n,(n,a)\:b)\ =\ (n,b)\ =\ 1\ $ usando antes dijo MCD leyes.
Estos ejercicios son fáciles de aplicar la básica MCD leyes que he mencionado en la anterior pregunta, a saber. el asociativa, conmutativa, distributiva y modular de la ley de $\rm\:(a,b+c\:a) = (a,b)\:.$, De hecho, para hacer pruebas más intuitiva uno puede escribir $\rm\:gcd(a,b)\:$ $\rm\:a\dot+ b\:$ y, a continuación, utilizar conoce aritmética de las leyes, por ejemplo, véase esta la prueba de que el MCD de Primer año el Sueño de $\rm\:(a\:\dot+\: b)^n =\: a^n\: \dot+\: b^n\:.$
NOTA $\ $ También vale la pena énfasis es que no sólo son pruebas usando el MCD de las leyes más generales, son también los más eficientes notationally, por lo tanto, más fácilmente comprensible. Como ejemplo, a continuación es una prueba usando el MCD leyes, seguido por una prueba de uso de la identidad de Bezout (de Gerry de la respuesta).
$\begin{eqnarray}
\qquad 1&=& &\rm(a\:,\ \ n)\ &\rm (b\:,\ \ n)&=&\rm\:(ab,\ &\rm n\:(a\:,\ &\rm b\:,\ &\rm n))\ \ =\ \ (ab,n) \\
1&=&\rm &\rm (ar\!\!+\!\!ns)\:&\rm(bt\!\!+\!\!nu)&=&\rm\ \ ab\:(rt)\!\!+\!\!&\rm n\:(aru\!\!+\!\!&\rm bst\!\!+\!\!&\rm nsu)\ \ so\ \ (ab,n)=1
\end{eqnarray}$
Observe cómo la primera prueba usando el MCD leyes evita todos los extraños Bezout variables $\rm\:r,s,t,u\:,\:$ que no conceptual papel, sino que, más bien, sólo sirven para ocultar la verdadera esencia de la cuestión. Además, sin este tipo de ruido oscureciendo nuestro punto de vista, se puede ver de inmediato una generalización natural de la DPC basado en la legislación de la prueba, es decir,
$$\rm\ (a,\ b,\ n)\ =\ 1\ \ \Rightarrow\ \ (ab,\:n)\ =\ (a,\ n)\:(b,\ n) $$
Esto da lugar a varios refinamiento basado en vistas únicas factorizations, por ejemplo, la de Euclides-Euler Número Cuatro Teorema (Vierzahlensatz) o, más generalmente, Schreier refinamiento y Riesz de interpolación. Véase también Paul Cohn excelente 1973 encuesta Mensual Única de la Factorización de Dominios.
