La integración de una función desde el infinito negativo hasta el infinito

Question

tengo esta extraña pregunta acerca de la integración desde el infinito hasta el infinito.

$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{z^2+25}$$

La primera idea era tomar el factor a por $(z+5)(z-5)$, pero que realmente no se consigue nada.

Entonces traté de dejar $x= z^2$ e las $\frac{dx}{dz}= 2z$, entonces dz = 1/2z, sino que también fue a ninguna parte

Entonces traté de..... $x=z$, $\frac{dx}{dz}= 1$ por lo tanto $dz = dx$

$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{x^2+25}$ $ , que no ha logrado nada. Por favor, ayuda!

Esperar sólo recuerdo cómo se aplica esto a fracciones parciales. Pero aún confundido como grom infinito a infinito.

Así que empieza el ingenio $$\frac{1}{z^2+25}=\frac{1}{(z+5)(z-5)}$$ $$\frac{1}{(z+5)(z-5)}=\frac{A}{x+5}+\frac{B}{x-5}$$ $$1=A(x-5)+B(x+5)$$ En x = 5 $1=10B$ por lo tanto $B=0.1

En x=-5 $A=1/-10$

Pero no estoy seguro de dónde ir de allí

Answer 1

Me voy a dar un enfoque diferente de todos los anteriores mediante el análisis complejo, lo que te ahorra un montón de trigonometría y primaria manipulaciones algebraicas. (Esto puede ser más probable que el enfoque preferido del problema, ya que se utiliza la variable $z$, lo que comúnmente se denota una variable compleja.)

Tenga en cuenta que el denominador $z^2+25=(z+5i)(z-5i)$ contiene raíces complejas. Por lo tanto la integral es susceptible a la técnica de la integración a través de una curva cerrada en el plano complejo y aplicando el teorema de los residuos.

Más específicamente, considere la posibilidad de la mitad de los círculos de los $\gamma$ sobre el plano complejo con el borde recto sentado en el real intervalo de $[-R,R]$ y con el arc $Re^{i\theta}$ donde $\theta\in[0,\pi]$. La función es racional, por lo tanto meromorphic, y la raíz de $z=5i$ (con multiplicidad $1$) se incluye dentro de este medio círculo al $R>5$. Por tanto, debemos calcular el residuo de a $z=5i$:

$$\operatorname{res}_{5i}f=\lim_{z\to5i}\frac{z-5i}{(z+5i)(z-5i)}=\frac{1}{10i}$$

Ahora aplique el teorema de los residuos:

$$\int_\gamma f(z)\,dz=2\pi i\operatorname{res}_{5i}f=\frac{2\pi i}{10i}=\frac{\pi}{5}$$

Queda por demostrar que la integral de todo el arco $\gamma_R$$0$$R\to\infty$. La función está acotada en este arco $1/(R^2+25)$, y el arco tiene una longitud de $\pi R$, por lo que la estimación lema:

$$\lim_{R\to\infty}\left|\int_{\gamma_R}f(z)\,dz\right|\le\lim_{R\to\infty}\left|\frac{\pi R}{R^2+25}\right|$$

El lado derecho tiene la tasa de crecimiento $O(R)$ en el numerador y el $O(R^2)$ en el denominador, por lo que es sencillo de demostrar que no va a $0$ $R\to\infty$ (por ejemplo, la regla de L'Hôpital). Por lo tanto la integral en la recta real es igual a la integral alrededor de la mitad de círculo, que es

$$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{z^2+25}\,dz=\frac{\pi}{5}$$

como era necesario.

Answer 2

$$ \int \frac{dz}{z^2+25} = \frac 1 5\int \frac{dz/5}{(z/5)^2+1} = \frac 1 5 \int \frac{du}{u^2+1} = \frac 1 5 \arctan u + C. $$ Como $z\to\pm\infty$$u\to\pm\infty$, por lo que recuerdo de la trigonometría que $\arctan u\to\pm\dfrac\pi2$$u\to\pm\infty$.

$$ \frac 1 5 \left( \frac\pi2 - \frac{-\pi}{2} \right) = \frac \pi 5. $$

Answer 3

Sustituyendo $$x = 5 \tan \theta$$ transforma la integral a $$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{5 \sec^2 \theta \, d\theta}{25 \tan^2 \theta + 25},$ $ , que se simplifica a

$$\displaystyle \frac{1}{5} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} d\theta.$$

Reorganización de la sustitución de da $\theta = \arctan \frac{x}{5}$, y los nuevos límites siga inmediatamente desde el límite de $$\lim_{u \to \pm \infty} \arctan u = \pm \frac{\pi}{2} .$$

Answer 4

$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{z^2+25}=\int_{-\infty}^{0} \frac{1}{z^2+25}+\int_{0}^{\infty} \frac{1}{z^2+25}=\\ \lim_{x\to -\infty}\int_{x}^{0} \frac{1}{z^2+25}+\lim_{x\to \infty}\int_{0}^{x} \frac{1}{z^2+25}$$ A respuesta de su confusión sobre el infinito.

Answer 5

Estoy bastante seguro de que se supone dividir los límites. Escoger un valor entre el $-\infty$ $+\infty$ que es válido. En este caso, $0$ trabajo (sin embargo, esto no siempre es el caso). Esto le dará 2 separar las integrales:

$$ \int_{-\infty}^0 \frac{1}{z^{2} + 25} dx \quad\text{and}\quad \int_0^\infty \frac{1}{z^{2} + 25} dx$$

A continuación, sólo suma las dos integrales, o en términos de una fórmula:

$$ \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{z^2 + 25} dx = \int_{-\infty}^0 \frac{1}{z^{2} + 25} \, dx + \int_0^\infty \frac{1}{z^2 + 25} \, dx$$

Como para resolver la integral, no creo que usted necesita para aplicar fracciones parciales. Debe haber una buena fórmula que involucra $\tan(\theta)$.

Espero que ayude!

EDITAR: Joao señaló un paso que me perdí. Es necesario transformar

$\displaystyle \int_{-\infty}^{0}\,\,$ $\,\,\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \int_{x}^{0}$