Más simple prueba de que un número es trascendental?

Question

He intentado buscar en google para pruebas simples que un número es trascendental, lamentablemente no pude encontrar ninguna que yo pudiera entender.

¿Alguno de ustedes sabe de un simple transcendentality (si se trata de una palabra) la prueba?

E: Lo que quiero decir es que yo quería un lugar simple prueba de que algún número en particular es trascendental ($e$ o $\pi$ trabajo), no es un método para probar que cualquier número es trascendental, lo siento por la confusión.

O incluso una prueba trascendental de los números 'común' como números algebraicos?

Answer 1

Los más fáciles de la prueba es a través de Liouville del criterio.

Lema. Supongamos $\alpha$ es un irracional algebraica de números. Existen enteros $C,n$ tal que para todos los enteros $p/q$, $$ \left| \alpha \frac{p}{q} \right| \geq \frac{C}{q^n}. $$

Usted puede encontrar una prueba de la lema en Wikipedia, y en muchas otras fuentes. Ahora, considere el número de $$ \alpha = \sum_{m=0}^\infty \frac{1}{10^{m.}}, $$ a veces conocido como número de Liouville. Desde la expansión decimal de $\alpha$ es aperiódica, es irracional. Por otro lado, para todos los $r$ hemos $$ \left| \alpha \frac{\sum_{m=0}^r 10^{r!-m!}}{10^{i!}} \right| \leq \sum_{m=n+1}^\infty \frac{1}{10^{m.}} \leq \sum_{m=r+1}^\infty \frac{1}{10^{(r+1)!+m-(r+1)}} \leq \frac{2}{10^{(r+1)!}}. $$ Desde $2/10^{(r+1)!}$ es mucho menor que $10^{r!}$ grandes $r$, no es difícil comprobar que $\alpha$ no satisface la conclusión del lexema. En efecto, supongamos que lo hizo, para algunos $C,n$. A continuación, para todos los $r$ debemos tener $$ \frac{2}{10^{(r+1)!}} \geq \frac{C}{10^{r!n}} \Longleftrightarrow 10^{r!n} \geq (C/2) 10^{(r+1)!} \Longleftrightarrow 1 \geq (C/2) 10^{r! (r+1-n)}, $$ que falla por lo suficientemente grande como $r$.

Desde la conclusión de que el lema no tienen, en uno de sus locales debe ser falsa. Desde $\alpha$ es, sin duda irracional, no debe ser algebraicas. En otras palabras, $\alpha$ es trascendental.

Answer 2

Es posible argumentar bastante elementarily que Liouville del número de $$ L = \sum_{k=1}^\infty 10^{-k!} $$ es trascendental, por lo que muestra directamente que para cada entero polinomio $$p(x) = a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$$ hay una posición decimal en $p(L)$ que debe ser distinto de cero.

Los poderes de la $L$ tienen la forma $$ L^k = c_1 10^{-b_1} + c_2 10^{-b_2} + c_3 10^{-b_3} + \cdots $$ donde cada uno de los (todos diferentes) $b_i$ es un número que puede ser escrito como la suma de $k$ (no necesariamente diferentes) factoriales, y $c_i$ es un número entero $\le k!$ que depende de si algunos de los factoriales son diferentes.

Ahora vamos a $n$ es el grado de $p$. Entre las $b_i$s nos encontramos con los números de la forma $B_{h,n}=(h+1)!+(h+2)!+\cdots (h+n)!$, y por la elección de $h$ lo suficientemente grande, estos números pueden ser arbitrariamente lejos de cualquier cosa que se puede escribir como una suma de menos de $n$ factoriales (que son los que aparecen en la expansión de la menor poderes de $L$).

Así que si elegimos $h$ lo suficientemente grande, nos encontramos con un $B_{h,n}$ de manera tal que los únicos términos en $p(L)$ que contribuyen a los dedos alrededor de la posición decimal $B_{h,n}$ es el producto de $a_n$$C_{h,n}$, lo cual es distinto de cero.

(Todo a la derecha de esto es la suma de los productos de algunos de los $10^{-b_j}$ con un factor que es en la mayoría de las $n!a_n+(n-1)!a_{n-1}+\cdots+a_1$. La cota de la factor depende sólo de $p$, así que si sólo elegimos $h$ de tal manera que la primera $b_j$ después $B_{h,n}$ está separado por al menos la longitud de esta obligado su contribución no puede alcanzar la posición $B_{h,n}$.

(De manera similar, podemos organizar para que haya suficiente espacio a la izquierda de $B_{h,n}$ para hacer espacio para todos los de $a_nC_{h,n}$ antes de la anterior $b_j$).

Answer 3

Hay una GRAN diferencia entre mostrar que un determinado número de que, naturalmente, se produce (como $e$ o $\pi$) es trascendental y demostrando que algún número.

La existencia de trascendental los números fue mostrado por primera vez en 1844 por Liouville. En 1851 se demostró que $\sum_{k=1}^{\infty} \frac1{10^{k!}} $ es trascendental.

En 1873, Hermite demostrado que $e$ es trascendental. El próximo año, Cantor demostró que la números algebraicos fueron contables, de manera que casi todos los números son trascendentales. En 1882, Lindemann demostró que $\pi$ es trascendental.

Buscar más si lo desea.

Answer 4

Cantor demostró que una simple forma de lista de la real algebraica de números en una secuencia $a_1,a_2,a_3,\ldots$. Cada término tiene sólo un número finito de términos antes de esto, y cada algebraica de números se alcanza después de sólo un número finito de pasos. Ahora vamos a buscar un trascendental número en el intervalo de $(0,1)$. Encontrar el primer número en la secuencia de arriba, que está entre el $0$$1$; llamarlo $b_1$, y reducir el intervalo de$(0,1)$$(b_1,1)$. Hallar el primer término de la secuencia que viene después de $b_1$ y cae en nuestro ahora más estrecho intervalo de tiempo; callit $c_1$, y reducir el intervalo de$(b_1,1)$$(b_1,c_1)$. Luego de encontrar el primer número de la secuencia que viene después de $c_1$ y cae en nuestro ahora aún más estrecho intervalo de tiempo; llamarlo $b_2$, y reducir el intervalo de a $(b_2,c_1)$. Y así sucesivamente: la próxima estrechamiento será a$(b_2,c_2)$$(b_3,c_2)$,$(b_3,c_3)$. Tenemos $0<b_1<b_2<b_3<\cdots < c_3<c_2<c_1<1$. Algunos número debe estar entre el $b$s y $c$, y no puede ser algebraicas debido a nuestro proceso ha eliminado a todos aquellos.

Este argumento involucra el estrechamiento fue Cantor en su primer papel en uncountability, publicado en 1874. Su "argumento diagonal" llegó más tarde.

http://en.wikipedia.org/wiki/Cantor%27s_first_uncountability_proof