Homotopy equivalente espacios han homotopy equivalente universal cubre

Question

Un problema en la sección 1.3 de Hatcher Topología Algebraica es

Deje $\tilde{X}$ $\tilde{Y}$ ser simplemente conectado a cubrir espacios de la trayectoria-conectado, localmente trayectoria-conectado espacios de $X$$Y$. Mostrar que si $X \simeq Y$$\tilde{X} \simeq \tilde{Y}$. [Ejercicio 11 en el Capítulo 0 puede ser útil.]

Ejercicio 11 en el capítulo 0 dice

Mostrar que $f:X \to Y$ es un homotopy de equivalencia si existen mapas $g, h:Y \to X$ tal que $fg \simeq 1$$hf \simeq 1$. Más generalmente ,muestran que $f$ es un homotopy de equivalencia si $fg$ $hf$ son homotopy equivalencias.

Estas dos preguntas en la Pila de preguntar acerca de este problema, pero sin respuesta y la solución a los otros está claro para mí (y puede que esté equivocado).

Lo que tengo hasta ahora: universal Dado que cubre los mapas de $p: \tilde{X} \to X$$q: \tilde{Y} \to Y$, y homotopy inversos $f:X \to Y$$g: Y \to X$, se puede encontrar ascensor $\tilde{f}: \tilde{X} \to \tilde{Y}$ tal que $q\tilde{f} = fp$. (De hecho, creo que hay muchos de esos $\tilde{f}$, ya que hay elementos de $q^{-1}(y)$ para cualquier punto de base $y \in Y$). Del mismo modo podemos encontrar $\tilde{g}$ tal que $gq = p\tilde{g}$.

Desde el homotopy $gf \simeq 1$ tenemos un único ascensor de un homotopy $p\tilde{g}\tilde{f} = gfp \Rightarrow p$ a partir de a $\tilde{g}\tilde{f}$, pero, ¿cómo sabemos que termina en $1_{\tilde{X}}$?

Veo que no he utilizado ejercicio 11...

Supongo que estos son unbased homotopies, ya que, generalmente, cómo Hatcher se utiliza el término.

Answer 1

Tienes razón en que la elevación de la homotopy $p\tilde{g}\tilde{f}$ a partir de a $ \tilde{g} \tilde{f}$ no puede terminar en la identidad. Sin embargo, no termina en un ascensor de la identidad, es decir, una baraja de transformación de $\phi$$\widetilde{X}$. Ahora, esto implica que $\tilde{g}\tilde{f} \simeq \phi$$\phi^{-1} \tilde{g}\tilde{f} \simeq id_{\widetilde{X}}$. Del mismo modo, hay una baraja de transformación de $\psi$ $\widetilde{Y}$ tal que $\tilde{f}\tilde{g} \psi^{-1} \simeq id_{\widetilde{Y}}$.

Ahora, aplique ejercicio 11 en el capítulo 0 a la conclusión de que la $\tilde{f}$ es un homotopy de equivalencia.

Answer 2

$p:(\widetilde{X},\tilde{x}_0)\to (X,x_0)$ $q:(\widetilde{Y},\tilde{y}_0)\to (Y,y_0)$ a estar cubriendo los mapas. $f:(X,x_0)\to(Y,y_0)$ ser un homotopy de equivalencia, con el inverso $g$. A continuación, $fg\simeq1_Y$ $gf\simeq1_X$

Levante $fp:\widetilde{X}\to Y$$F=\widetilde{fp}:\widetilde{X}\to \widetilde{Y}$. Desde $\widetilde{X}$ es simplemente conectado, levante existe. De nuevo, levantando, $G=\widetilde{gq}:\widetilde{Y}\to\widetilde{X}$

Ahora, $qFG=q\widetilde{fp}\widetilde{gq}=fp\widetilde{gq}=fgq$. Por lo $FG$ es la (única) de elevación de $fgq:\widetilde{Y}\to Y$. Pero, $fgq\simeq1_Yq=q$ y por homotopy de elevación, $FG\simeq \tilde{q}=1_\widetilde{Y}$

Del mismo modo, $GF\simeq 1_\tilde{X}$. Por lo tanto, $F:\widetilde{X}\to\widetilde{Y}$ es un homotopy de equivalencia.

Answer 3

Mientras Andrew Hanlon da en su respuesta, lo que me parece ser la idea correcta (el ascensor se determina hasta un mazo de transformación), aquí es un divertido (probablemente circular) alternativa, sólo por diversión.

Sabemos que hay un ascensor $\tilde{f} : \tilde{X} \to \tilde{Y}$. Por lo $\tilde{f}$ es un mapa continuo entre dos espacios, y desde el mapa de $f$ inducida por isomorphisms en todos los más altos homotopy grupos, siendo un homotopy de equivalencia, y desde una cubierta mapa induce isomorphisms en la mayor homotopy grupos, se desprende de la simple conectividad universal que cubre $\tilde{f}$ induce isomorphisms en todos los homotopy grupos.

Así, en el caso de que $X$ $Y$ están conectados CW-complejos, se sigue de Espinillas teorema que $f$ es un homotopy de equivalencia.