Obtener la ecuación de un círculo cuando se les da 3 puntos

Question

Obtener la ecuación de un círculo a través de los puntos de $(1,1), (2,4), (5,3)$.

Puedo resolver esto, simplemente, por el dibujo, pero hay una forma de resolverlo (fácilmente) sin tener que dibujar?

Answer 1

Siga estos pasos:

1. Considere la ecuación general para un círculo como $(x-x_c)^2+(y-y_c)^2 - r^2 = 0$
2. Conecte los tres puntos para crear tres ecuaciones cuadráticas $$(1-x_c)^2+(1-y_c)^2 - r^2 = 0$$ $$(2-x_c)^2+(4-y_c)^2 - r^2 = 0$$ $$(5-x_c)^2+(3-y_c)^2 - r^2 = 0$$
3. Restar la primera de la segunda, y la primera de la tercera a crear dos ecuaciones lineales $$-2 x_c -6 (y_c-3)=0$$ $$(y_c+7)-6 x_c = 0$$
4. Resolver por el centro como $$(x_c,y_c) = (3,2)$$
5. Conecte los valores para el centro en cualquiera de las tres ecuaciones cuadráticas por encima (yo la primera) y resolver para $r$ $$(1-3)^2+(1-2)^2-r^2 = 0$$ $$5-r^2 = 0$$ $$r = \sqrt 5$$
6. Verifique el resultado con GeoGebra (opcional)

Answer 2

Me sorprende que este no ha sido mencionado; usted puede encontrar la ecuación mediante el determinante de una matriz:

$$\left|\begin{array}{cccc} x^2+y^2&x&y&1\\ 1^2+1^2&1&1&1\\ 2^2+4^2&2&4&1\\ 5^2+3^2&5&3&1\\ \end{array}\right|=0$$ Esto da la ecuación del círculo a través de los tres puntos. Este tipo de cosas puede ser utilizado en una gran cantidad de situaciones: matriz de determinante soluciones están disponibles para cualquier forma puedo pensar donde te dan puntos que la tierra en la forma.

La aplicación de esta en un equipo implica tener una cosa que calcula los determinantes; para hacerlo numéricamente deberá aplicar el método de cofactores para evitar la multiplicación de las variables.

Answer 3

También puede encontrar la primera $R$ desde el pecado de la Ley:

$$R= \frac{BC}{2 \sin (A)}= \frac{BC \cdot AB \cdot AC }{2 \| AB \times AC \|} \tag{$*$}$$

A continuación, escribe las ecuaciones de los círculos de radio $R$ de centro $A$ $B$ y resolver.

Nota La fórmula $(*)$ es la conocida fórmula geométrica para el área de un triángulo:

$$\mbox{Area}= \frac{abc}{4R} \,.$$

Answer 4

Gran ayuda:

Vamos $A\equiv (1,1)$,$B\equiv (2,4)$ y $C\equiv (5,3)$.

Sabemos que las mediatrices de los tres lados de un triángulo son concurrentes.Únete a $A$ $B$ también $B$$C$.

La mediatriz de $AB$ debe pasar por el punto de $(\frac{1+2}{2},\frac{1+4}{2})$

Ahora encontrar las ecuaciones de las rectas AB y BC y después de que las ecuaciones de las mediatrices de $AB$$BC$.Resolver las ecuaciones de las mediatrices de $AB$ $BC$ para obtener el centro de su círculo.

Answer 5

Considerar el general (implícita) de la ecuación que define un círculo, con los parámetros de $\alpha$, $\beta$, $\gamma$. Sustituir las coordenadas de los puntos dados y obtener tres ecuaciones lineales con tres variables $\alpha$, $\beta$, $\gamma$. Resolver el sistema.