Condición necesaria y suficiente para los coeficientes de una cuártica

Question

Necesito ayuda con el siguiente problema. Muchas gracias de antemano.

Deje $f(x) = x^2+px+q$$g(x) = x^2+rx+s$. Encontrar una expresión para $f(g(x))$ y por lo tanto, encontrar una condición necesaria y suficiente en $a$, $b$, $c$ para que sea posible escribir el cuarto grado de expresión de $x^4+ax^3+bx^2+cx+d$ en la forma $f(g(x))$, para algunos la elección de los valores de $p$, $q$, $r$, y $s$.

Bien, lo primero que hice fue buscar a $f(g(x))$:

$\begin{aligned}f(g(x)) & = (x^2+rx+s)^2+p(x^2+rx+s)+q \\& = x^2(x^2+rx+s)^2+rx(x^2+rx+s)+s(x^2+rx+s)+px^2+prx+ps+q \\& = x^4+rx^3+sx^2+rx^3+r^2+x^2+rsx+sx^2+srx+s^2+px^2+prx+ps+q \\& = x^4+(2r)x^3+(p+2s+r^2)x^2+(2rs+pr)x+s^2+q+ps \end{aligned}$

Así que le deseamos tener:

$x^4+(2r)x^3+({p}+2s+r^2)x^2+(2rs+pr)x+s^2+q+ps \equiv x^4+ax^3+bx^2+cx+d$

La comparación de los coeficientes de, $r = \frac{1}{2}a$, $2s = b-\frac{1}{4}a^{2}-{p}$, y $c = r(2s+p)$, lo $c = \frac{ab}{2}-\frac{1}{{8}}a^{{3}} $.

Entiendo que esta condición es 'necesario' -- mi problema es que no estoy muy seguro de cómo hacer que suficiente. No estoy muy seguro de cómo se supone que voy a elegir algo adecuado de los valores de p, q, r y s.

Muestran, además, que se cumple esta condición si y sólo si es posible escribir el cuarto grado de expresión de $x^4+ax^3+bx^2+cx+d$ en la forma $(x^2+vx+w)^2-k$, para algunos la elección de los valores de v, w, q, r, s.

$\begin{aligned} (x^2+vx+w)^2-k & = x^2(x^2+vx+w)+vx(x^2+vx+w)+w(x^2+vx+w)-k \\& = x^4+vx^3+wx^2+vx^3+vx^2+wvx+wx^2+vwx+w^2-k \\& = x^4+(2v)x^3+(2w+v^2)x^2+(2vw)x+w^2-k. \end{aligned}$

Veo que el 'ideal' hubiera sido q = 0, pero, ¿cómo se supone que debo ver?

Answer 1

[Un wiki de la comunidad de respuesta a quitar esto de la sin respuesta a la piscina.]

A ver que una condición es necesaria y suficiente, usted necesita para probar ambas direcciones. Puesto que usted quiere encontrar una condición en $\{a,b,c\}$ con el fin de hacer algo que implican la elección de $\{p,q,r,s\}$, usted debe mostrar que cada vez que la condición se mantiene, puede hacer que algo (es decir, siempre hay $\{p,q,r,s\}$ cuando la condición se mantiene) y que siempre se puede hacer algo, la condición debe mantener (es decir, dado $\{p,q,r,s\}$ trabajo que conocer el estado tiene).

Para la segunda parte, usted necesita simplemente para comprobar que las condiciones son las mismas como las condiciones anteriores. (De hecho, el mismo como la condición en la $\{a,b,c\}$ o la suposición de que puede ser ampliado en $\{p,q,r,s\}$ -, porque usted sabe que estos son equivalentes).