Circuito de la resistencia que no es en serie o en paralelo

Question

¿Cuál es la resistencia equivalente en este circuito (entre los puntos a y B)?

Answer 1

Te voy a dar la respuesta a esta pregunta mediante un método inusual que se mostró en el American Mathematical Monthly problema de la sección tal vez en la década de 1970. Este no es necesariamente el camino más fácil para resolver el problema, pero que funciona muy bien a partir de una expresión algebraica punto de vista.

La forma en que la mayoría de la gente a resolver la mayoría de problemas de resistencia es el uso de la serie y paralelo de la resistencia de las reglas. Estos son matemáticamente elegante que implican sólo la resistencia. Pero este circuito no puede ser reducida a la serie y paralelo reglas (esto es cierto si usted escribe una serie infinita en R3, tal vez?), así que, probablemente, el método más directo es la aplicación de un voltaje de V para el circuito y el uso de álgebra para calcular la corriente total. Esto es poco elegante (pero física) en la que introduce las ideas de otros de la propia resistencia.

El "delta" de los métodos mencionados por Manishearth, (pero en este momento realmente no funcionó a la respuesta final) es la forma en EE podría resolver el problema. Tiene la ventaja de quedarse con la resistencia, pero implica algo poco intuitivo cambios en la topología del circuito.

El método que voy a dar aquí sólo utiliza resistencias e ilustra una solución general a este tipo de problema. Si uno se generaliza el $R_k$ a los números complejos $Z_k$, puede ser utilizado para la general de impedancias (como el método delta), pero es más general que el método delta. También puede ayudar con la comprensión del estudiante de la resistencia de la hoja así que creo que vale la pena mi tiempo para escribir en:

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En primer lugar, vamos a reemplazar las resistencias con plana, delgada de material que pasa a tener una "hoja de resistencia" de 1 ohm por cuadrado. Con tal material, si cortamos un rectángulo de dimensiones 1 x R, obtenemos una resistencia de R ohmios entre dos conductores conectados a la 1 de la longitud de los lados:

Ahora la cosa acerca de la resistencia de la hoja es que usted puede cambiar la escala de la resistencia a cualquier tamaño que usted guste; siempre y cuando se mantenga la relación de las longitudes de los lados como "R", la resistencia resultante tendrá una resistencia R. La hoja puede ser hecha de pequeñas hojas que se pegan juntos. Para hacer el pegado correctamente, necesitamos utilizar aislantes de pegamento para las conexiones horizontales y la realización de pegamento para las conexiones verticales. Esto es debido a que la corriente sólo fluye de izquierda a derecha. Así que el aislante pegamento no se ayudan o dificultan el flujo de corriente y las conexiones verticales no importa, porque todos la realización de la cola tiene el mismo voltaje de todos modos. Vi este método para calcular resistencias en una solución al problema E2459 en el American Mathematical Monthly, febrero de 1975.

Para sustituir el circuito con uno donde cada resistor es reemplazado por una región rectangular con dimensiones apropiadas para su resistencia. En hacer esto, tenemos que hacer una suposición sobre el camino que la corriente fluye a través de la resistencia R3. Voy a asumir que fluye desde la parte superior a la parte inferior. Y con el fin de establecer una escala para el conjunto de la cosa, vamos a hacer la dimensión vertical de R3 a ser de longitud 1. Esto nos da el siguiente dibujo:

Ahora la general del circuito tiene una resistencia dada por la relación de su longitud y su anchura de:
$$R = L/W = (R_1 x_1 + R_2x_2)/(x_1+x_4)$$ Hay cuatro incógnitas, $\{x_1,x_2,x_4,x_5\}$. Comparación de dimensiones horizontales da dos ecuaciones independientes:
$$R_1x_1 = R_4x_4 + R_3,$$ $$R_5x_5 = R_3 + R_2x_2.$$ Y la comparación de las dimensiones verticales da:
$$x_1 = 1 + x_2,$$ $$x_5 = 1 + x_4.$$
Esto elimina $x_1$ $x_5$ a dar dos ecuaciones con dos incógnitas:
$$R_1 + R_1x_2 = R_4x_4 + R_3,$$ $$R_5 + R_5x_4 = R_3 + R_2x_2.$$ O:
$$ R_1x_2 - R_4x_4 = R_3-R_1,$$ $$-R_2x_2+ R_5x_4 = R_3-R_5 .$$ Estas resolver para dar:
$$ x_2 = \frac{R_3R_5-R_1R_5 + R_3R_4-R_4R_5}{R_1R_5-R_2R_4},$$
$$ x_4 = \frac{R_1R_3-R_1R_5 + R_2R_3-R_1R_2}{R_1R_5-R_2R_4},$$
y así
$$ x_1 = \frac{R_3R_5-R_2R_4 + R_3R_4-R_4R_5}{R_1R_5-R_2R_4},$$
$$ x_5 = \frac{R_1R_3-R_2R_4 + R_2R_3-R_1R_2}{R_1R_5-R_2R_4},$$
Necesitamos $W=x_1+x_4:$
$$W = \frac{R_3(R_1+R_2+R_4+R_5)-(R_1+R_4)(R_2+R_5)}{R_1R_5-R_2R_4}$$ y $L = R_1x_1+R_2x_2:$
$$L = \frac{R_3(R_4+R_5)(R_1+R_2)-R_1R_2(R_4+R_5)-R_4R_5(R_1+R_2)}{R_1R_5-R_2R_4}$$ por lo que la resistencia total es:
$$R = L/W = \frac{R_1R_4(R_2+R_5)+R_2R_5(R_1+R_4)-R_3(R_4+R_5)(R_1+R_2)}{(R_2+R_5)(R_1+R_4)-R_3((R_1+R_2)+(R_4+R_5))}.$$ En la de arriba, he agrupado los términos con el fin de dejar claro que esto le da la respuesta correcta en el límite de $R_3$ $0$ o $\infty$.

Answer 2

El uso de una estrella-delta transformar para simplificar la parte del circuito. Usted también puede usar el principio de superposición.

Answer 3

 A x----x-----[1]-----x-----[2]-----x----x B
        |             |             |
       [4]           [3]           [5]
        |             |             |
        |-------------x-------------|    

$\uparrow$ Fig.1. OP del circuito original.

Como sugiere Manishearth, se puede realizar una $Y$-$\Delta$ transformación de $Y$-resistencias $R_1$, $R_2$ y $R_3$, $\Delta$- conductancias $G_1$, $G_2$ y $G_3$ (con un $123$ simétrica de etiquetado de la convención), cf. Fig.2 a continuación.

 A x----x------x-----[3]-----x------x----x B
        |      |             |      |
       [4]    [2]           [1]    [5]
        |      |             |      |
        |------x-------------x------|    

$\uparrow$ Fig.2. Un $\Delta$-circuito equivalente al OP del circuito original.

En términos de las fórmulas, el $Y$-$\Delta$ transformación está dada como $$ G_i ~:=~ R_i \frac{\sum_{j=1}^3 R_j}{\prod_{k=1}^3 R_k}~=~ R_i \frac{R_1+R_2+R_3}{R_1 R_2 R_3},\qquad\qquad i=1,2,3. $$

The $\Delta$-equivalent circuit in Fig.2 can be viewed as composed of only series and parallel resistors. The equivalent conductance between $$ and $B$ therefore becomes

$$ \frac{1}{R}~=~G_3+\frac{1}{\frac{1}{G_2+\frac{1}{R_4}} +\frac{1}{G_1+\frac{1}{R_5}}}. $$

(Finally let us mention that it is also possible to apply the $Y$-$\Delta$ transform to other triples of the five resistors than $123$.)

Answer 4

Aquí es cómo iba a hacerlo, siguiendo el método descrito por kleingordon en un comentario. Este método es menos cool, pero más general de lo que Carl Brannen la respuesta, porque se va a trabajar incluso en el caso de que no se cruzan los cables y no se puede modificar en una sola hoja de material resistivo.

Deje que el potencial eléctrico en $A$ $V_A$ y a las$B$$V_B$. También, que el potencial en el cable que conecta $R_1$ $R_2$ $R_3$ $V_C$y dejar que el potencial en el cable de conexión de a$R_4$$R_3$$R_5$$V_D$. Sabemos que la corriente a través de cada resistencia debe ser igual a la diferencia de potencial dividido por la resistencia, por lo que tenemos $$I_1 = R_1(V_A - V_C)$$ $$I_2 = R_2(V_C - V_B)$$ $$I_3 = R_3(V_C - V_D)$$ $$I_4 = R_4(V_A - V_D)$$ $$I_5 = R_5(V_D - V_B).$$

También sabemos que la corriente debe ser conservada en cada cruce, lo que nos da $$ I_1 + I_2 = I_4 + I_5 $$ $$ I_1 = I_2 + I_3 $$ $$ I_4 + I_3 = I_5, $$ pero la última de estas tres ecuaciones es redundante porque puede ser derivada a partir de los otros dos, por lo que hay siete ecuaciones en total, en los nueve incógnitas (cinco corrientes y cuatro potenciales).

Queremos calcular la resistencia, el cual es dado por $(V_A-V_B)/(I_1+I_2).$ Ya que todo es lineal, podemos suponer sin pérdida de generalidad que $V_B=0$$V_A=1$. Esto nos da siete ecuaciones con siete incógnitas, que podemos resolver para encontrar la respuesta.

No he trabajado a través de porque es un poco laborioso (yo probablemente usar un sistema algebraico por computadora, en lugar de hacerlo a mano), pero se debe dar la misma respuesta de Carl Brannen del método.

Answer 5

Después de Un Googler comentario de Carl Brannen la respuesta:

Pero creo $R_1x_1=R_4x_4−R_3$ $R_5x_5=R_2x_2−R_3.$ ¿Qué estoy haciendo mal? Por favor explique

Si usted sigue esta corrección a través de, (ie. cambiar los subíndices 1 y 4, y 2 y 5 de en su apertura horizontal consideración - la vertical declaraciones no necesita cambiar), puede lograr un resultado similar a:

$$ R = L/W = \frac{R_1R_4(R_2+R_5)+R_2R_5(R_1+R_4)-R_3(R_4+R_5)(R_1+R_2)}{(R_2+R_5)(R_1+R_4)-R_3((R_1+R_2)+(R_4+R_5))}. $$

pero sin los signos negativos de cada una de las $R_3$ plazo:

$$ R = L/W = \frac{R_1R_4(R_2+R_5)+R_2R_5(R_1+R_4)+R_3(R_4+R_5)(R_1+R_2)}{(R_2+R_5)(R_1+R_4)+R_3((R_1+R_2)+(R_4+R_5))}. $$

Este resultado también da los resultados correctos para R tiende a 0 y también R tiende a infinito, pero las definiciones de la R es consistente con el diagrama.

Aquí están algunos pasos:

Tenemos:

$$ R_1x_1 = R_4x_4 - R_3, $$

$$ R_5x_5 = R_2x_2 - R_3. $$

Utilizando también:

$$ x_1 = x_2 + 1, $$

$$ x_5 = x_4 + 1, $$

y la eliminación de $x_1$ $x_5$ a partir de la horizontal ecuaciones, obtenemos:

$$ R_1x_2 + R_1 = R_4x_4 - R_3, $$

$$ R_2x_2 - R_3 = R_5x_4 + R_5. $$

Estas resolver para dar:

$$x_4 = \frac{R_1R_5 + R_1R_3 + R_1R_2 + R_2R_3}{R_2R_4 - R_1R_5} $$

$$x_2 = \frac{R_1R_5 + R_3R_5 + R_3R_4 + R_4R_5}{R_2R_4 - R_1R_5} $$

$$ x_1 = \frac{R_2R_4 + R_3R_5 + R_3R_4 + R_4R_5}{R_2R_4 - R_1R_5} $$

$$x_5 = \frac{R_1R_3 + R_1R_2 + R_2R_3 + R_2R_4}{R_2R_4 - R_1R_5} $$

$$W = \frac{R_3(R_1+R_2+R_4+R_5) + (R_2+R_5)(R_1+R_4)}{R_2R_4 - R_1R_5} $$

$$ L = \frac{R_3(R_1+R_2)(R_4+R_5) + R_1R_4(R_2+R_5) + R_2R_5(R_1+R_4)}{R_2R_4 - R_1R_5} $$

y, finalmente,

$$ R = L/W = \frac{R_1R_4(R_2+R_5)+R_2R_5(R_1+R_4)+R_3(R_4+R_5)(R_1+R_2)}{(R_2+R_5)(R_1+R_4)+R_3((R_1+R_2)+(R_4+R_5))}. $$

Curiosamente, si las resistencias $R_1, R_2, R_4, R_5$ tienen todos el mismo valor, decir $\rho$, entonces se puede demostrar que la resistencia de todo el circuito no dependen $R_3$ en todo y en lugar de sólo ser igual a $\rho$.