¿Existen grupos simples finitos distintos con el mismo orden?

Question

En la teoría de grupos finitos, suele ser bastante fácil demostrar que no hay grupos simples de un orden determinado $n$ . Mi pregunta es diferente: ¿hay algún número natural $n$ tal que hay dos grupos simples no isomorfos de orden $n$ ? Las dos familias más fáciles de grupos simples finitos - $\mathbb{Z}_p$ para $p$ un primer y $A_n$ para $n\ge5$ - claramente no dan ningún ejemplo.

Debería ser posible comprobarlo utilizando la función clasificación de los grupos simples finitos pero no sé lo suficiente sobre las legendarias "dieciséis familias infinitas de grupos de tipo Lie" como para hacer la comprobación yo mismo. Además, si la respuesta es "no", me interesaría mucho más ver una prueba elemental (más o menos) que ver una prueba que se basa en más de 3.000 páginas de teoría de grupos dura sin parar.

Answer 1

Los enlaces en los comentarios ya dan muy buenas respuestas, pero aquí hay algo similar:

Hay muy pocas coincidencias entre los órdenes de los distintos grupos simples finitos de las distintas familias. Muchas de estas coincidencias se explican por isomorfismos excepcionales para grupos que tienen más de una característica: $ \newcommand{\PSL}{\operatorname{PSL}} \newcommand{\PSU}{\operatorname{PSU}} \newcommand{\PSp}{\operatorname{PSp}} \newcommand{\PSO}{\operatorname{P\Omega}} $

• Orden 60, $A_5 \cong \PSL(2,4) \cong \PSL(2,5)$
• Orden 168, $\PSL(2,7) \cong \PSL(3,2)$
• Orden 360, $A_6 \cong \PSL(2,9)$
• Orden 20160, $A_8 \cong \PSL(4,2)$
• Orden 25920, $\PSO(5,3) \cong \PSU(4,2)$

También se tienen varios isomorfismos de baja dimensión en general:

• $\PSU(2,q) \cong \PSL(2,q)$
• $\PSO(5,q) \cong \PSp(4,q)$

Pero también uno un poco raro que sólo es un isomorfismo en la característica 2:

• $\PSO(2n+1,2^f) \cong \PSp(2n,2^f)$

Esta un poco extraña obliga a las órdenes de $\PSO(2n+1,q)$ y $\PSp(2n,q)$ sea el mismo para todos $q$ sin embargo. Así que tenemos la coincidencia de orden:

• $|\PSO(2n+1,q)| = |\PSp(2n,q)|$ pero $\PSO(2n+1,q) \not\cong\PSp(2n,q)$ para impar $q$

La única otra coincidencia de orden es la muy especial $A_8 \cong \PSL(4,2)$ frente a $\PSL(3,4)$ de la orden 20160.

Estos resultados se demuestran para los grupos clásicos y excepcionales en Artin (1955). La observación original de los dos grupos simples distintos de orden 20160 es de Schottenfels (1899). Mientras que la técnica de Artin funciona para todos los grupos de tipo Lie (los tipos retorcidos no son difíciles), sería bueno ver una versión post CFSG en Garge (2005), que también maneja productos directos de grupos simples y conoce los órdenes de todos los grupos simples esporádicos.

• Schottenfels, Ida May. "Dos grupos simples no isomórficos del mismo orden 20,160". Ann. of Math. (2) 1 (1899/00), nº 1-4, 147-152. MR 1502265 DOI: 10.2307/1967281

• Artin, Emil. "Los órdenes de los grupos simples clásicos". Comm. Pure Appl. Math. 8 (1955), 455-472. MR 73601 DOI: 10.1002/cpa.3160080403

• Garge, Shripad M. "Sobre los órdenes de grupos semisimples finitos". Proc. Indian Acad. Sci. Math. Sci. 115 (2005), no. 4, 411-427. MR 2184201 DOI: 10.1007/BF02829803