Demostrar que todos los números primos son 1 o -1 modulo 6

Question

Posibles Duplicados:
Es cierto que todos los números primos son de la forma $6m \pm 1$?

P. ¿por Qué es que todos los números primos mayores que 3 son 1 o -1 modulo 6?

No es suficiente argumentar de la siguiente manera:

Deje $p$ ser una de las primeras. $p>3 \Rightarrow 3$ no divide $p$. Claramente $2$ no divide $p$, y 6 no divide a p.

Ahora, $p$ es impar, y por lo $p$ es de 1,3 o 5 modulo 6. Sin embargo, si $p$ fueron 3 (mod6), que nos daría ese $3$ divide $p$, lo cual es una contradicción.

Como tal, llegamos a la conclusión de que $p$ es 1 o 5 (=-1) mod 6

Answer 1

Sí. Generalmente si $\rm\:p\:$ es primo, entonces el modulo $\rm\:2\:\!p,\:$ cualquier prime $\rm\:q\ne 2,p\:$ debe residir en uno de los $\rm\:\phi(2p) = \phi(p) = p\!-\!1\:$ residuo de clases que se coprime a $2$ $\rm p,$ es decir, de todos los impares residuo de clases excluyendo $\rm p,\:$ viz. $\rm\:1,3,5,\ldots,\hat p,\ldots,2p\!-\!1.\:$ De hecho, los números enteros en otras clases son divisibles por $2$ o $\rm p\:$ por lo tanto, si el primer, debe ser $2$ o $\rm p,\:$ resp. La explotación de reflexión simetría podemos decir esto de forma más concisa: $\rm\: q\equiv \pm\{1,3,5,\cdots,p\!-\!2\}\ \ (mod\ 2\:\!p),\:$, por lo que $\rm\: q\equiv \pm 1\ \ (mod\ 6),\:$ $\rm q\equiv \pm\{1,3\}\ \ (mod\ 10),\:$ $\rm q\equiv\pm \{1,3,5\}\ \ (mod\ 14),\:$ etc.

En general, cualquier entero coprime a$\rm\:m\:$, modulo $\rm\:m,\:$ se encuentran en una de las $\rm\:\phi(m)\:$ residuo de clases coprime a $\rm\:m,\:$ donde $\phi$ es el de Euler totient función.

Answer 2

Tenemos $6| 6n$, $2| 6n+ 2$, $3|6n+3$, y $2|6n + 4$ para todos los enteros $n$. Que sale de la $6n+1$s y $6n+5$s como sea posible de los números primos, salvo por 3 y 2.