Demostrando que todos los números primos son 1 o -1 módulo 6

Question

Possible Duplicate:
¿Es cierto que todos los números primos son de la forma $6m \pm 1$?

P. ¿Por qué es que todos los primos mayores que 3 son o 1 o -1 módulo 6?

¿Es suficiente argumentar de la siguiente manera?

Sea $p$ un primo. $p>3 \Rightarrow 3$ no divide a $p$. Claramente, tampoco divide $p$ el $2$, y por lo tanto 6 no divide a $p.

Ahora, $p$ es impar, por lo tanto $p$ es o 1, 3 o 5 módulo 6. Sin embargo, si $p$ fuera 3 (mod 6), eso nos daría que 3 divide a $p$, lo cual es una contradicción.

Por lo tanto, concluimos que $p$ es o 1 o 5 (-1) módulo 6

Answer 1

Sí. Generalmente si $\rm\:p\:$ es primo, entonces módulo $\rm\,2p,\,$ cualquier primo $\rm\:q\ne 2,p\:$ debe estar en una de las $\rm\:\phi(2p) = \phi(p) = p\!-\!1\:$ clases de residuos que son coprimos a $2$ y $\rm p,$ es decir, todas las clases de residuos impares excluyendo $\rm p,\:$ es decir, $\rm\:1,3,5,\ldots,\hat p,\ldots,2p\!-\!1.\:$ De hecho, los enteros en otras clases son divisibles por $2$ o $\rm p\:$ por lo tanto, si son primos, deben ser $2$ o $\rm p,\:$ respectivamente. Más sucintamente, explotando la simetría de reflexión negativa: $\rm\: q\equiv \pm\{1,3,5,\cdots,p\!-\!2\}\ \ (mod\ 2\:\!p),\ $ por ejemplo $\rm\,\ q\equiv \pm 1\ \ (mod\ 6),\:$ $\,\rm q\equiv \pm\{1,3\}\ \ (mod\ 10),\:$ $\,\rm q\equiv\pm \{1,3,5\}\ \ (mod\ 14),\:$ etc.

Generalmente, si $\rm\,q\,$ es cualquier entero coprimo a $\rm\:m\:$ entonces su resto módulo $\rm\:m\:$ está en una de las $\rm\:\phi(m)\:$ clases de residuos coprimos a $\rm\:m,\:$ donde $\phi$ es la función phi de Euler.

Answer 2

Tenemos $6| 6n$, $2| 6n+ 2$, $3|6n+3$, y $2|6n + 4$ para todos los enteros $n$. Eso deja los $6n+1$ y $6n+5$ como posibles números primos, excepto por 3 y 2.