¿Qué precisión tiene la aproximación de la Tierra como esfera?

Question

¿Qué nivel de error encuentro al aproximar la tierra como una esfera? Concretamente, cuando se trata de la localización de los puntos y, por ejemplo, de las distancias ortodrómicas entre ellos.

¿Existen estudios sobre el error medio y el peor caso en comparación con un elipsoide? Me pregunto cuánta precisión estaría sacrificando si opto por una esfera en aras de facilitar los cálculos.

Mi escenario particular implica mapear directamente las coordenadas WGS84 como si fueran coordenadas en una esfera perfecta (con el radio medio definido por la IUGG) sin ninguna transformación.

Answer 1

En resumen, la distancia puede tener un error de hasta unos 22 km o un 0,3%, dependiendo de los puntos en cuestión. Eso es:

• El error puede expresarse de varias formas naturales y útiles En el caso de las distancias, se trata de (i) el error (residual), igual a la diferencia entre las dos distancias calculadas (en kilómetros), y (ii) el error relativo, igual a la diferencia dividida por el valor "correcto" (elipsoidal). Para producir números convenientes para trabajar, multiplico estos ratios por 1000 para expresar el error relativo en partes por mil .

• Los errores dependen de los puntos finales. Debido a la simetría rotacional del elipsoide y de la esfera y a sus simetrías bilaterales (norte-sur y este-oeste), podemos situar uno de los extremos en algún lugar del meridiano principal (longitud 0) en el hemisferio norte (latitud entre 0 y 90) y el otro extremo en el hemisferio este (longitud entre 0 y 180).

Para explorar estas dependencias, he trazado los errores entre los puntos finales en (lat,lon) = (mu,0) y (x,lambda) en función de la latitud x entre -90 y 90 grados. (Todos los puntos están nominalmente a una altura del elipsoide de cero.) En las figuras, las filas corresponden a valores de mu a {0, 22,5, 45, 67,5} grados y las columnas a valores de lambda a {0, 45, 90, 180} grados. Esto nos da una buena visión del espectro de posibilidades. Como era de esperar, sus tamaños máximos son aproximadamente el aplanamiento (alrededor de 1/300) veces el eje mayor (alrededor de 6700 km), o unos 22 km.

Errores

Errores relativos

Gráfico de contorno

Otra forma de visualizar los errores es fijar un punto final y dejar que el otro varíe, trazando el contorno de los errores que surgen. Aquí, por ejemplo, hay un gráfico de contorno en el que el primer punto final está a 45 grados de latitud norte, 0 grados de longitud. Como antes, los valores de error están en kilómetros y los errores positivos significan que el cálculo esférico es demasiado grande:

Puede ser más fácil de leer cuando se envuelve alrededor del globo:

El punto rojo en el sur de Francia muestra la ubicación del primer punto final.

Para que conste, aquí está el Mathematica 8 código utilizado para los cálculos:

WGS84[x_, y_] := GeoDistance @@ (GeoPosition[Append[#, 0], "WGS84"] & /@ {x, y});
sphere[x_, y_] := GeoDistance @@
   (GeoPosition[{GeodesyData["WGS84", {"ReducedLatitude", #[[1]]}], #[[2]], 0}, "WGS84"] & /@ {x, y});

Y uno de los comandos de trazado:

With[{mu = 45}, ContourPlot[(sphere[{mu, 0}, {x, y}] - WGS84[{mu, 0}, {x, y}]) / 1000, 
                   {y, 0, 180}, {x, -90, 90}, ContourLabels -> True]]

Answer 2

He explorado esta cuestión recientemente. Creo que la gente quiere saber

1. ¿qué radio esférico debo utilizar?
2. ¿cuál es el error resultante?

Una métrica razonable para la calidad de la aproximación es el máximo error relativo absoluto en la distancia del círculo máximo

err = |s_sphere - s_ellipsoid| / s_ellipsoid

con el máximo evaluado sobre todos los pares de puntos posibles.

Si el aplanamiento f es pequeño, el radio esférico que minimiza err es muy cercano a (a + b)/2 y el error resultante es de aproximadamente

err = 3*f/2 = 0.5% (for WGS84)

(evaluado con 10^6 pares de puntos elegidos al azar). A veces se sugiere se sugiere utilizar (2*a + b)/3 como radio esférico. Esto da lugar a un error ligeramente mayor, err = 5*f/3 = 0,56% (para WGS84).

Las geodésicas cuya longitud está más subestimada por la esférica se encuentran cerca de un polo, por ejemplo, de (89,1,0) a (89,1,180). Las geodésicas cuya longitud está más sobrestimada por la aproximación esférica son meridionales cerca del ecuador, por ejemplo, de (-0,1,0) a (0,1,0).

ADDENDUM : He aquí otra forma de enfocar este problema.

Seleccione pares de puntos distribuidos uniformemente en el elipsoide. Mida la distancia elipsoidal s y la distancia en un unidad esfera t . Para cualquier par de puntos, s / t da un radio esférico equivalente. Si se hace la media de esta cantidad sobre todos los pares de puntos y esto da un radio esférico equivalente medio radio esférico equivalente. Hay una cuestión de cómo debe hacerse exactamente la media hacer la media. Sin embargo, todas las opciones que he probado

1. <s>/<t>
2. <s/t>
3. sqrt(<s^2>/<t^2>)
4. <s^2>/<s*t>
5. <s^2/t>/<s>

todos salieron dentro de unos pocos metros del radio medio recomendado por la IUGG, R ₁ \= (2 a + b ) / 3. Por lo tanto, este valor minimiza el error RMS en los cálculos de la distancia esférica en los cálculos de la distancia esférica. (Sin embargo, da lugar a un error máximo ligeramente mayor error relativo en comparación con ( a + b ) / 2; véase más arriba). Dado que R ₁ es probablemente se utilice para otros fines (cálculos de área y similares), hay una buena razón para mantener esta opción para los cálculos de distancia.

El resultado final :

• Para cualquier tipo de trabajo sistemático, donde se puede tolerar un error del 1% en cálculos de distancia, utilice una esfera de radio R ₁ . El máximo error relativo es del 0,56%. Utiliza este valor de forma consistente cuando aproximes la tierra con una esfera.
• Si necesitas más precisión, resuelve la geodésica elipsoidal elipsoidal.
• Para los cálculos de la parte posterior del sobre, utilice R ₁ o 6400 km o 20000/pi km o a . El resultado es un error relativo máximo de alrededor del 1%.

OTRA ADICIÓN : Se puede exprimir un poco más la precisión de la distancia del círculo máximo utilizando μ = tan -1 ((1 - f ) 3/2 tanφ) (una latitud rectificadora pobre) como la latitud en el cálculo del gran círculo. Esto reduce el error relativo máximo del 0,56% al 0,11% (utilizando R ₁ como el radio de la esfera). (No está claro si realmente vale la pena adoptar este enfoque en lugar de calcular directamente la distancia geodésica elipsoidal).