Simplificación infinita de productos

Question

He encontrado la siguiente identidad $\prod_{k=0}^{\infty}(1+\frac{1}{2^{2^k}-1})=\frac{1}{2}+\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{\prod_{j=0}^{k-1}(2^{2^j}-1)}$

Mi primer pensamiento fue usar la identidad de eulers de alguna manera $\prod_{k=1}^{\infty}(1+z^k)=\prod_{k=1}^{\infty}(1-z^{2k-1})^{-1}$ pero no me ayuda.

Si tienes una idea o conoces una identidad útil para probar este resultado te lo agradecería mucho.

Answer 1

Para demostrar esta identidad, observe que el lado izquierdo es $$\begin{eqnarray*} \prod_{k\ge 0} (1+\frac{1}{2^{2^k}-1}) &=& \prod_{k\ge 0} \frac{2^{2^k}}{2^{2^k}-1}\\ &=& \prod_{k\ge 0} \frac{1}{1-2^{-2^k}}\\ &=& \prod_{k\ge 0} (1 + 2^{-2^k} + 2^{-2\cdot 2^k} + 2^{-3\cdot 2^k} + \cdots) \end{eqnarray*}$$ y luego, expandiendo parcialmente el producto infinito, $$\begin{eqnarray*} &\ & \prod_{k\ge 0} (1 + 2^{-2^k} + 2^{-2\cdot 2^k} + 2^{-3\cdot 2^k} + \cdots)\\ &=& 1+\sum_{k\ge 0} (2^{-2^k} + 2^{-2\cdot 2^k}+ 2^{-3\cdot 2^k} + \cdots)\prod_{0\le j<k} (1 + 2^{-2^j} + 2^{-2\cdot 2^j} + 2^{-3\cdot 2^j} + \cdots)\\ &=& 1+\sum_{k\ge 0} \left(2^{-2^k} + \frac{2^{-2\cdot 2^k}}{1-2^{-2^k}}\right) \prod_{0\le j<k} (1-2^{-2^j})^{-1}\\ &=& 1+\sum_{k\ge 0} \left(2^{-2^k} \prod_{0\le j<k} (1-2^{-2^j})^{-1}+ 2^{-2^{k+1}} \prod_{0\le j\le k} (1-2^{-2^j})^{-1}\right)\\ &=& 1+\sum_{k\ge 0} 2^{-2^k} \prod_{0\le j<k} (1-2^{-2^j})^{-1} +\sum_{\ell\ge 1} 2^{-2^\ell} \prod_{0\le j<\ell} (1-2^{-2^j})^{-1}, \ \ \text{setting } \ell=k+1\\ &=& 1-\frac{1}{2}+2\sum_{k\ge 0} 2^{-2^k} \prod_{0\le j<k} (1-2^{-2^j})^{-1}, \qquad \text{lumping the two sums into one}\\ &=& \frac12+\sum_{k\ge 0} 2^{-(2^0+\cdots+2^{k-1})} \prod_{0\le j<k} (1-2^{-2^j})^{-1}\\ &=& \frac12 + \sum_{k\ge 0} \prod_{0\le j\le k-1} \frac{1}{2^{2^j}-1}, \\ \end{eqnarray*}$$ que es el lado derecho.