Primero, (2): si se define un cardinal como un ordinal que no es biyectable con ningún ordinal estrictamente menor, entonces supongamos que $\alpha$ es el supremo ordinal de $\kappa^{\theta}$ , $\theta\lt\lambda$ . Sea $\beta$ sea un ordinal estrictamente menor que $\alpha$ . Por la definición de supremum, debe existir un $\theta\lt\lambda$ tal que $\beta\lt\kappa^{\theta}\leq\alpha$ en particular, $\kappa^{\theta}$ no se puede biyectar con $\beta$ (siendo un cardenal), y por lo tanto tampoco puede $\alpha$ (que daría una incrustación de $\kappa^{\theta}$ en $\beta$ y Cantor-Bernstein te daría $|\beta|=\kappa^{\theta}$ contradiciendo que esta última no es biyectable con ningún ordinal estrictamente menor). Por lo tanto, $\alpha$ no es biyectable con ningún ordinal estrictamente menor, por lo que debe ser un cardinal. Por tanto, tanto si se define el supremum como el ordinal-sup o el cardinal-sup, se seguirá obteniendo un cardinal (esto es válido para cualquier conjunto de cardinales).
En segundo lugar, (1): tienes razón en que la definición no coincide con esto para $\kappa=1$ (o para $\kappa = 0$ ); como señala Carl en los comentarios, es probable que se trate de una errata u omisión; debería valer para cualquier $\kappa>1$ .
Editar: La definición como suma se hace corriendo sobre todos los ordinales, en lugar de todos los cardinales, así que lo arreglo a continuación.
Por último, (3): se trata de demostrar que el supremum de la $\kappa^{\theta}$ es igual a la suma sobre todos los ordinales $\alpha<\lambda$ de $|\kappa^{\alpha}$ , suponiendo que $\kappa\geq 2$ (para evitar los problemas señalados). Esto porque $|\kappa^{\alpha}|=|map(\theta,\kappa)|$ por definición, y la cardinalidad de la unión disjunta es la suma cardinal. Creo que esto se puede demostrar por inducción transfinita en $\lambda$ como hago a continuación, pero probablemente exista un método más sencillo.
Así, la proposición que queremos demostrar es que para cualquier infinito ordinal $\lambda$ tenemos $$\sup_{\alpha\lt\lambda}|\kappa^{\alpha}| = \sum_{\alpha\lt\lambda}|\kappa^{\alpha}|.$$
En primer lugar, la igualdad se mantiene para $\lambda=\omega$ : si $2\leq \kappa\lt\aleph_0$ entonces $\sup\{|\kappa^n|\,|\, n=0,1,2,3,\ldots\} = \aleph_0$ y $\sum_{n=0}^{\infty}|\kappa^n| = \aleph_0$ ; si $\aleph_0\leq\kappa$ entonces $|\kappa^n|=\kappa$ para todos $n$ y $\sum_{n=0}^{\infty}|\kappa^n| = \sum_{n=0}^{\infty}\kappa = \kappa\aleph_0=\kappa$ Así que ambas partes están de acuerdo.
Supongamos que el resultado es válido para $\lambda$ entonces el supremum de $|\kappa^{\alpha}|$ con $\alpha\lt\lambda^+$ es $|\kappa^{\lambda}|$ ; por otro lado, $$\sum_{\alpha\lt\lambda^+}|\kappa^{\alpha}| = \left(\sum_{\alpha\lt\lambda}|\kappa^{\alpha}|\right) + \kappa^{\lambda} = \sup_{\alpha\lt\lambda}|\kappa^{\alpha}|+|\kappa^{\lambda}|=|\kappa^{\lambda}|,$$ donde la última igualdad se mantiene porque $|\kappa^{\alpha}|\leq |\kappa^{\lambda}|$ para cada $\alpha\lt \lambda$ por lo que el supremum es como máximo $|\kappa^{\lambda}|$ y la suma de dos cardinales infinitos es igual a su máximo. Así que de nuevo las dos expresiones coinciden.
Por último, queremos demostrar que si $\lambda$ es un ordinal límite y el resultado se mantiene para todo $\beta\lt\lambda$ , entonces se cumple para $\lambda$ . Entonces $$\sup_{\alpha\lt\lambda}(|\kappa^{\alpha}|) = \sup_{\beta\lt\lambda}\left(\sup_{\alpha\lt\beta}(|\kappa^{\alpha}|\right) = \sup_{\beta\lt\lambda}\sum_{\alpha\lt\beta}|\kappa^{\alpha}| = \sum_{\alpha\lt\lambda}(|\kappa^{\alpha}|).$$ Así que la igualdad se mantiene para $\lambda$ también. Esto establece el resultado por inducción transfinita para todos los ordinales infinitos $\lambda$
Edición adicional, 2 de septiembre de 2010: Aclarar cómo se va a rematar.
Así, lo anterior demuestra que para cualquier ordinal $\lambda$ , $\sup_{\alpha\lt\lambda}|\kappa^{\alpha}| = \sum_{\alpha\lt\lambda}|\kappa^{\alpha}|$ . Para terminar el ejercicio, tenemos que demostrar que si $\lambda$ es un cardinal (es decir, un ordinal que no es biyectable con ningún ordinal estrictamente menor), entonces $\sup\{|\kappa^{\alpha}|\colon\alpha$ es un ordinal y $\alpha\lt\lambda\} = \sup\{|\kappa^{\theta}|\colon \theta$ es un cardenal y $\theta\lt\lambda\}$ . Para ver esto, observe que $|\kappa^{\alpha}|=|\kappa|^{|\alpha|}$ y como $\lambda$ se supone que es un cardenal, si $\alpha\lt\lambda$ entonces existe un cardinal $\theta$ , $\theta\lt\lambda$ , de tal manera que $|\alpha|=|\theta|$ y por lo tanto $|\kappa^{\alpha}|=|\kappa^{\theta}|$ . Así, los dos conjuntos son iguales, por lo que sus supremos también lo son.
