¿Converge esta integral? $\int_0^\infty e^{\large{x/2-2\alpha(x^2-x^{1+\delta})}}\mathrm dx$

Question

Estoy atascado en mostrar si esta integral converge o no:

$$\int_0^\infty e^{\large{x/2-2\alpha(x^2-x^{1+\delta})}}\mathrm dx$$ donde $\alpha>0$ y $0<\delta<1$. Esto parece bastante simple, y creo que debería converger, sin embargo, no puedo ver cómo demostrarlo (¿tal vez no converge?) ¿Alguna pista?

Answer 1

Para grandes $x$, el integrando está dominado por

$$ e^{-2\alpha x^2}. $$

Answer 2

Dado $\delta \in (0,1)$, tenemos para $x>x_0(\delta)$, $$x^2 - x^{1+\delta} \geq \dfrac{x^2}{2\alpha}$$ Esto nos da para $x>x_0(\delta)$ $$e^{x/2-2\alpha(x^2-x^{1+\delta})} = e^{x/2-x^2}$$ Ahora deberías poder mostrar que la integral converge.