Tengo una pregunta general sobre la diferencia de los grupos de homología y (simpliciales) homotopía de un espacio topológico en grados $X$ y el espacio $Y := X \cup_{S^{n-1}} D^n$ obtenido pegando una bola $D^n$ a $X$ a lo largo de un mapa de borde continuo $f: S^{n-1} \to X$ y obteniendo de esa manera el nuevo espacio $Y:= X \cup_{S^{n-1}} D^n$.
¿Qué podemos decir sobre el cambio de los grupos de homotopía y homología de grado $0 \le k < n$? Conjeturo que para estos $k$ la respuesta debería ser que la homotopía y la homología no cambian, es decir $\pi_k(X)= \pi_k(Y)$ y $H^k(X, \mathbb{Z})= H^k(Y, \mathbb{Z})$ pero me gustaría saber un argumento 'geométrico' para ello. Ahora me gustaría presentar mis esfuerzos y agradecería si alguien pudiera dar feedback si mis argumentos funcionan:
- Lo que intenté en $\pi_k(Y)$: Sea $[s] \in [S^k, Y]$ y tenemos que demostrar que $[s]$ es homotópico a un mapa $S^k \to X$. Elegimos un representante $s: S^k \to Y= X \cap_{S^{n-1}} D^n$ y lo componemos con el mapa de colapso $c:X \cup_{S^{n-1}} D^n \to S^n$ que colapsa $X$ a un punto. Por el teorema de Sard, la composición de $s$ con $c$ no puede ser sobreyectiva, por lo tanto existe un punto $p \in S^n$ que no tiene una preimagen y $c \circ s$ se factoriza sobre $S^n \backslash p \simeq \mathbb{R}^n$.
Así concluimos que $c \circ s$ es homotópico a un mapa que se factoriza sobre el espacio contractible $\mathbb{R}^n$, y por lo tanto $c \circ s$ debería ser homotópico a un mapa constante, ¿verdad?
- Sobre la homología: Siempre podemos asumir que $X$ es un complejo CW y dejemos $C^X_m \to C^X_{m-1} \to ... \to C^X_k \to ... \to C^X_1$ su complejo celular con diferenciales $d_i^X: C^X_i \to C^X_{i-1}$ descrito en cualquier libro de topología algebraica y donde $C^X _i = \bigoplus_{c_i \text{ celda i }} \mathbb{Z} \cdot c_i $. La resolución de $Y$ difiere de la de $X$ solo por una celda adicional de dimensión $n$, es decir, $C^Y_i = C^X_i$ para $i \neq n$ y $C^Y_n = C^X_n \oplus \mathbb{Z} \cdot c_n$. Haciendo esta identificación entre celdas $i$ y usando la inclusión canónica $C^X_n \subset C^Y_n$ obtenemos un mapa entre los complejos de cadena de $X$ y $Y$. La homología $i$-ésima es por definición $H^i()=ker(d_i)/im(d_{i+1})$. Para todos los $i < n -1$ tenemos diferenciales iguales $d^X_i=d^Y_i$ por la construcción de nuestros complejos celulares $X$ y $Y$, salvo por $d^X_n $ y $d^Y_n$.
Así que creo que de esto siempre podemos concluir que $H^i(X) = H^i(Y)$ para $ i < n-2$, ¿verdad? ¿Hasta ahora, son correctos mis razonamientos? Si es así, entonces de manera similar, $H^i(X) = H^i(Y)$ para $i >n$, ya que $C^X_n \subset C^Y_n$ es inyectivo. Sobre $i = n, n-1$ en general no podemos decir nada.
¿Son correctas mis 'demostraciones' 1 y 2?
