Integrabilidad de Riemann y sumas de Riemann

Question

Si no usamos integrales impropias, $f(x)=1/\sqrt{x}$ no es Riemann-integrable en $[0,1]$ porque solo las funciones acotadas son Riemann-integrables. ¿Significa eso que existe una partición etiquetada de $[0,1]$ y una suma de Riemann correspondiente que no converge (a 2) para $f(x)$? (No pude encontrar una)

Answer 1

Si desea ver un ejemplo específico, aquí tienes uno. Para una partición arbitraria de $[0,1]$, deja que $[0,x_1]$ sea su subintervalo más a la izquierda, donde $01$, el punto $x_1^{*}=\frac{x_1^2}{N^2}$ está en $[0,x_1]$, y el primer término en la suma de Riemann correspondiente será $$f(x_1^{*})\Delta x_1=\frac{1}{\sqrt{x_1^2/N^2}}\cdot x_1=N,$$ lo cual puede ser arbitrariamente grande si dejamos que $N\to+\infty$. Dado que el resto de los términos son no negativos, vemos que las sumas de Riemann son ilimitadas y no tienen un límite.