¿Por qué es divergente $\sum_{n=1}^\infty {1\over{n^{1+ {1\over\ln \ln n}}}}$?

Question

Estoy empezando a aprender Cálculo. Si alguien pudiera ayudarme, eso sería muy útil. Gracias de antemano

Desde aquí: cómo probar que $\sum {\frac{1}{n^{1+1/n}}}$ es divergente

Realmente no entiendo cómo utilizar la inducción desde $\dfrac{1}{n ^ {1+ \frac{1}{n}}} \lt \dfrac{1}{2n}$

Y otra pregunta es por qué $\sum_{n=1}^\infty {1\over {n ^ {1+ {1\over n}}}}$ es divergente y $\sum_{n=1}^\infty {1\over{n^{1+ {1\over \ln n} }}}$ No lo es?

O sea $\sum_{n=1}^\infty {1\over{n^{1+ {1\over \ln (\ln n) } }}}$ (Lo siento)

Answer 1

Después de tu edición: mostraremos que la serie con término general $\frac{1}{n^{1+\frac{1}{\ln \ln n}}}$ (para $n\geq 3$) es convergente. Para hacerlo, la compararemos con la serie (convergente) $\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n(\ln n)^2}$, que es una serie convergente Serie de Bertrand.

Reescribe $$ n^{1+\frac{1}{\ln\ln n}} = n\cdot n^{\frac{1}{\ln\ln n}}= n\cdot e^{\frac{\ln n}{\ln\ln n}} $$ y $$n(\ln n)^2 = n\cdot e^{2\ln \ln n}$$

Asintóticamente tenemos que $\ln \ln n = o\left(\frac{\ln n}{\ln\ln n}\right)$, es decir, para $n$ suficientemente grande $\frac{\ln n}{\ln\ln n} > 2\ln \ln n$. Esto implica que $$\frac{1}{n^{1+\frac{1}{\ln\ln n}}} < \frac{1}{n(\ln n)^2}$$ para $n$ suficientemente grande, y por comparación la serie $\sum_{n=3}^\infty \frac{1}{n^{1+\frac{1}{\ln \ln n}}}$ converge.

Answer 2

CONSEJO:

Tenga en cuenta que tenemos

$$n^{1/\log(n)}=e$$

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Tenga en cuenta que en la publicación original, la serie de interés era $\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^{1+\frac{1}{\log(n)}}}$