Intersección de una extensión Galois ramificada y una extensión abeliana máxima no ramificada

Question

Sea $L/K$ una extensión Galois finita donde un primo $p$ está completamente ramificado, y $A$ la extensión abeliana máxima sin ramificar de $K.

Debería ser $L \cap A = K$

Pero no veo por qué.

Claramente $K \subseteq L \cap A$, y también $L \not\subseteq A$ y $A \not\subseteq L$.

Pero no veo por qué no podría haber alguna "parte sin ramificar" en $L$, que pertenecería a $A$, haciendo que la intersección sea más grande que $K$.

Estoy segura de que esto es simplemente un ejercicio simple en teoría de campos, pero simplemente no lo veo.

Gracias de antemano por cualquier pista o sugerencia.

Answer 1

$p$ es totalmente ramificado, lo que significa que $e_p(L|K) = [L:K]$. Pero los grados de ramificación son multiplicativos al igual que los grados de extensión de campo. Si existe una extensión adecuada $K\subseteq F\subseteq L$ tal que $e_p(F|K) = 1$, entonces obtenemos la contradicción

$$e_p(L|K) = e_p(L|F)e_p(F|K) \le [L:F] < [L:F][F:K] = [L:K] = e_p(L|K).$$