Demuestra que $\det(kA) = k^n \det(A)$ para una matriz ($n \times n$) .
He intentado ver esto de varias maneras pero no logro entender por donde empezar. Me resulta confuso ya que la ecuación para un determinante es una suma tan extraña.
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mihb
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Un mnemónico utilizando cosas más avanzadas, solo para recordarlo a partir de las pocas reglas determinantes que logro recordar es:
$Det(kA)=Det(kI_nA)=Det(kI_n)Det(A)=Det\left( \begin{bmatrix} k & 0 & ... & 0 \\ 0 & k & ... & 0 \\ ... & ... & ... & ...\\ 0 & 0 & ... & k \end{bmatrix} \right) Det(A) = k^n Det(A)$
Donde he usado $Det(AB)=Det(A)Det(B)$ y una fórmula para el determinante de matrices diagonales.
Ellya
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11
Para ampliar la respuesta anterior, la fórmula del determinante es $$\operatorname{det}(A)=\sum_{\sigma\in S_n}\operatorname{sign}(\sigma)\prod_{i=1}^na_{i,\sigma_i}$$ entonces $$\operatorname{det}(kA)=\sum_{\sigma\in S_n}\operatorname{sign}(\sigma)\prod_{i=1}^nka_{i,\sigma_i}$$ $$=k^n\operatorname{det}(A)$$
co9olguy
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343
Tenga en cuenta que la matriz $kA$ tiene elementos $[kA]_{ij}=kA_{ij}$, donde $A_{ij}$ son los elementos de $A$. Si pudiéramos calcular la fórmula de expresión del determinante, cada término tiene el factor $k$ que aparece $n$ veces, donde $n$ es la dimensión de la matriz. Puede factorizar estos factores de toda la expresión, y te queda algo proporcional a $\det A.
Ejemplo:
\begin{align} \det \left(k\begin{bmatrix} A_{11} & A_{12}\\ A_{21} & A_{22}\\ \end{bmatrix}\right) =& \det \begin{bmatrix} kA_{11} & kA_{12}\\ kA_{21} & kA_{22}\\ \end{bmatrix}\\ = & kA_{11}kA_{22}-kA_{21}kA_{12}\\ = & k^2(A_{11}A_{22}-A_{21}A_{12})\\ =& k^2\det A \end{align}
Maciej Płusa
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En el caso más simple, digamos que una matriz $A$ que es una matriz $2 \times 2$, al multiplicarla por una constante $k$ da la siguiente configuración general. \begin{equation} k \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ka & kb \\ kc & kd \end{pmatrix} \end{equation} Por lo tanto, el determinante es (escribiendo $B=kA$); \begin{eqnarray} \text{det}B &=& (ka)(kd)-(kb)(kc)\\ &=& k^{2}ad-k^{2}bc \\ &=& k^{2}(ad-bc) \\ &=& k^{2} \text{det}A \end{eqnarray} Notice the exponent on $k$ es del orden $2$ para el caso $2 \times 2$; una conjetura es que sería $3$ para el caso $3 \times 3$. Ahora es cuestión de intentar ampliar esa noción al caso $n \times n$.
