El Teorema de Clairaut y continuidad de una función multivariable

Question

¿Mostrar que $f_{xy}$ no es igual a $f_{yx}$ en un punto dado es suficiente/bueno para demostrar que una función es discontinua allí?

¿Puedes también sugerir un método claro para encontrar, sin graficar, un método para determinar si una función es continua o no para una función multivariable?

Además, aunque no está relacionado, ¿implica $f_{xy}=f_{yx}$ en todos los casos? Quiero decir, ¿es $f_{xxyz}=f_{xyxz}=f_{zyxx}$...?

Answer 1

La respuesta a tu primera pregunta es no. Existen funciones continuas, e incluso continuamente diferenciables, $f(x,y)$ que satisfacen $f_{xy}(0,0)\neq f_{yx}(0,0).$ En esta situación, el teorema de Clairaut ($C^2\Rightarrow f_{xy}=f_{yx}$) implica que $f_{xy}$ y $f_{yx}$ no pueden ser ambos continuos.

Para la última pregunta, notar que el teorema de Clairaut se aplica a funciones $C^2$. Si $f$ es $C^4,$ entonces tus igualdades se cumplirán.

Answer 2

Primera pregunta: Es muy importante cuando se estudia un teorema delicado de cálculo entender exactamente lo que dice. Vamos a ver la declaración exacta del teorema de derivadas parciales mixtas de igualdad (que también se atribuye a Herman Schwartz, por lo que realmente debería llamarse el Teorema de Clairaut-Schwartz).

El teorema establece que si $f \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$

tiene [[función continua|continuas]] segundas [[derivadas parciales]] en cualquier punto dado en $\mathbb{R}^n $, digamos, $(a_1, \dots, a_n)$, entonces para $1 \leq i,j \leq n,$

$$\frac{\partial^2 f}{\partial x_i\, \partial x_j}(a_1, \dots, a_n) = \frac{\partial^2 f}{\partial x_j\, \partial x_i}(a_1, \dots, a_n).\,\!$$

En palabras, las derivadas parciales de esta función son [[operación conmutativa|conmutativas]] en ese punto.

La declaración claramente asume que las derivadas parciales de segundo orden de cada variable de f son continuas en el punto elegido, no dice absolutamente nada sobre la continuidad de la función en ese punto, ¡nada sobre las derivadas de orden inferior o la función de derivada lineal tampoco, de hecho! El contraejemplo clásico es el siguiente (aunque hay otros más sofisticados):

$$f(x,y) = \begin{cases} \frac{xy(x^2 - y^2)}{x^2+y^2} & \mbox{ for } (x, y) \ne (0, 0)\\ 0 & \mbox{ for } (x, y) = (0, 0). \end{cases} $$

Demuéstrate a ti mismo que esta función no tiene derivadas parciales de segundo orden mixtas iguales, ¡pero sigue siendo continua en $(0,0)$ en el plano!

Segunda pregunta: Bueno, claramente, si una función multivariable es diferenciable en el sentido fuerte, es decir, si existe un mapa lineal que satisface el límite que lo define para funciones de valor vectorial en un punto en el espacio n-dimensional, entonces la función es continua allí. Si f no es diferenciable allí, entonces se convierte en un juego muy complicado de cálculos para averiguar si la función es continua allí, ya que se deben calcular los límites para cada variable manteniendo las otras constantes y deben ser iguales al valor del mapeo en ese punto independientemente de cuáles variables se mantengan constantes. Esto es equivalente a encontrar el valor de la función en caminos en el espacio euclidiano n-dimensional que especifica el dominio donde (n-1) variables son constantes y el límite de f a lo largo del camino "converge" al punto límite. Por ejemplo, en el contraejemplo anterior, podemos elegir al azar cualquier línea en el plano que intersecte la superficie definida por f. Se puede demostrar utilizando un argumento de epsilon-delta que para cualquier línea tal, f es continua en (0.0) independientemente del "enfoque de la línea". De lo contrario, debemos usar un método de ensayo y error para determinar si el límite no existe. Si no existe, deberíamos poder elegir 2 líneas de aproximación donde obtengamos 2 límites unilaterales diferentes de f en (0,0). ¡Y ten cuidado aquí porque recuerda: ¡Que una función esté definida en un punto no garantiza que sea continua allí!

Aquí tienes un ejemplo simple de lo que quiero decir:

$$f(x,y) = (x^2 - y^2)$$

Está claro que f(0,0) existe y es igual a 0. Pero esto no es suficiente para la continuidad en (0,0). Considera tomar el límite de f en (0,0) a lo largo de la línea x=0. Entonces lim f(x,y) ----> (- y^2) a medida que nos acercamos a (0,0) a lo largo de x = 0. Pero si nos acercamos a lo largo de y =0, entonces lim f(x,y) ----> (x^2) y claramente estos límites para f no coinciden a lo largo de estos 2 caminos en el plano. ¡Por lo tanto, el límite no existe para esta f a medida que nos acercamos a (0,0) a pesar de que la función está definida en (0,0) y es igual a 0!

La tercera pregunta es obviamente verdadera según la declaración del teorema general.

¡Espero que haya respondido tu pregunta!

Answer 3

Solo un rápido comentario. En tu último ejemplo sobre límites, como dices, uno se acerca a -y al cuadrado y el otro a x al cuadrado. Pero tanto x como y se están aproximando a 0 sin importar el camino por el que vengan. Entonces, ¿no sería el límite el mismo, es decir, 0?