¡Las unidades no coinciden en la energía del muelle de torsión!

Question

Según Descripción de los muelles de torsión en Wikipedia y según mis conocimientos de física la energía de un muelle de torsión se puede escribir como $$U=\frac{1}{2}k \varphi^2$$ donde $k$ es una constante con unidades de $\rm N\,m/rad$ .

Estoy flipando aquí porque si la energía de un muelle de torsión es realmente $k \varphi^2$ que las unidades son $\rm (N\,m/rad) \cdot rad^2=Joule\cdot rad$ . ??

¿Qué diablos me estoy perdiendo aquí?

Answer 1

Los radianes son un número puro, por lo que no contribuyen a sus consideraciones de dimensión.

Las unidades de la constante de torsión son $\mathrm{Nm}$ que equivalen a Joules.

https://en.wikipedia.org/wiki/Radian#Definition

Answer 2

Es cierto que, en términos de unidades , $k$ debe ser [E]/rad $^2$ .

Entonces, ¿por qué se da como [E]/rad? Por descuido/conveniencia.

La unidad [E]/rad es equivalente tanto en dimensión como en valor a [E]/rad $^2$ Así que probablemente facilita la vida de los ingenieros para fingir que $k$ es el mismo para el par $\tau=k\theta$ y la energía $U=\frac{1}{2}k\theta^2$ . Pero son no , que es algo que habría que tener en cuenta al convertir de radianes a grados.

Otra motivación para esta dejadez es que presumiblemente se trata de un intento de emular el muelle armónico estándar $f=kx$ y $U=\frac{1}{2}kx^2$ para lo cual el $k$ son efectivamente iguales.

Answer 3

Un ángulo no es más que la relación entre la longitud de un arco circular y su radio, por lo que el radián tiene unidades de longitud/longitud, lo que significa que es una cantidad adimensional.

Answer 4

En el sistema de unidades del SI, el radián es un nombre especial para 1 (véase Folleto SI ), es decir, $$\mathrm{rad}=1.$$

Por lo tanto, $$[k] = \mathrm{N\,m/rad} = \mathrm{N\,m}$$ y $$\mathrm{J\,rad} = \mathrm{J}.$$

Desde la última revisión del SI, el radián ya no es una unidad suplementaria: un ángulo se define ahora como la relación de dos longitudes, y la unidad radián se mantiene por comodidad. Sin embargo, es sólo un sinónimo de 1, y puede puede utilizarse (pero no es necesario) para transmitir, o reforzar, la información de que la cantidad de interés es un ángulo.

Answer 5

Veamos cómo resultan las unidades si convertimos un muelle lineal (donde lo sabemos todo) en un muelle de torsión, uniendo nuestro muelle lineal a una varilla rígida a cierta distancia $R$ de un pivote:

La fuerza (lineal) debida al muelle es $\vec F = -k\Delta \vec x$ para la constante del muelle $k$ con unidades de newtons por metro. El par motor es $$ \tau = RF = -R \cdot k (R \Delta\theta) \equiv -\kappa \Delta\theta $$ Así que aparentemente la constante del muelle de torsión $\kappa = kR^2$ tiene unidades de newton-metros, lo que equivale a newton-metros por radián, porque el radián es una relación adimensional. Si desconfías del aparato de cálculo y quieres hacer mucho más trabajo, puedes utilizar la función trigonométrica adecuada $\sin\Delta\theta = \Delta x /R$ En ese caso, sólo se sigue mi argumento en la aproximación de ángulo pequeño $\lim_{|x|\ll1} \sin x = x$ .

La energía almacenada en el muelle lineal es \begin{align} U = -\int_0^{\Delta x} \vec F \cdot d\vec x = \frac12 k(\Delta x)^2 = \frac12 k(R\Delta\theta)^2 = \frac12 \kappa (\Delta\theta)^2 \end{align} que es exactamente lo mismo que se obtiene si se integra el par $$ U = -\int_0^{\Delta\theta} \vec\tau \cdot d\vec\theta = \frac12 \kappa (\Delta\theta)^2 $$ Como dice otra respuesta mucho más sucinta: todo funciona porque el radián, una relación entre dos longitudes, es adimensional.

---

lemon pregunta en un comentario en otro lugar cómo se convertiría $\kappa$ en cada caso, si estuvieras atado a un tronco en un aserradero y se te ordenara usar grados o morir de forma horriblemente sangrienta. (En ese caso, podrías admitir a regañadientes que la constante relevante en la ecuación del par motor tiene unidades de libras-pie por grado, mientras que en la ecuación de la energía has recogido otro factor angular de modo que la unidad es b.t.u. por grado al cuadrado. No creo que haya nada profundo en la coincidencia de que el par motor tenga unidades de energía; sí creo que hay algo profundo en el hecho de que hayamos inventado las unidades del SI para hacer desaparecer estos problemas inútiles.