Si $T:R^n \to R^m$ es lineal, entonces existe $C>0$ tal que $||T(x)|| \leq C||x||$

Question

Quiero entender si mi prueba es correcta. Estoy tratando de demostrar esto sin la hipótesis de que $T$ es inyectiva.

$ ||T(x)|| = ||T(\sum_i x_i e_i)||=||\sum_i x_iT(e_i)|| \leq \sum_i |x_i|||T(e_i)||$.

Sea $C = \max_i \{||T(e_i)||\} \geq 0$, $||x|| = \sum_i |x_i|$

Entonces $||T(x)|| \leq C||x||$.

Supongamos que $T \equiv 0$, entonces $C=1$ funciona, porque $||T(x)|| = 0 \leq 1.||x||=||x||$.

Supongamos que $T \neq 0$, entonces, si $C=0$, $||T(x)|| \leq 0||x|| = 0 \Rightarrow T(x) = 0 \forall x \Rightarrow T \equiv 0. (\unicode{x21af}) $

Si en realidad es correcto, ¿por qué en esta publicación: Si $T$ es inyectiva, entonces existe $\alpha>0$ tal que $||Tx||\geq \alpha||x||$ se necesitaba la inyectividad?

Answer 1

Su demostración está bien si está utilizando la norma $l^1$ en $\mathbb R^n$ y cualquier norma que desee en $\mathbb R^m.$ Pero sería bueno especificarlo al principio.

En cuanto a la inyectividad de un mapa lineal $T:\mathbb R^n \to \mathbb R^m$ implicando $\|Tx\| \ge \alpha \|x\|:$ Esa desigualdad va en la dirección opuesta, como señaló @Arthur, por lo tanto no entra en conflicto con lo que estás haciendo. La demostración de ese resultado es fácil por cierto. Dado que $T(x) \ne 0$ para $x\ne 0,$ la función $x\to \|T(x)\|,$ que es continua, tiene un mínimo positivo $\alpha$ en la esfera unitaria. La conclusión sigue fácilmente a partir de esto.