¿Alguien ha visto esta identidad combinatoria que implica los números de Bernoulli y Stirling?

Question

¿Alguien sabe una demostración (combinatoria?) bonita y/o una referencia para la siguiente identidad?

$$\left( \frac{\alpha}{1 - e^{-\alpha}} \right)^{n+1} \equiv \sum_{j=0}^n \frac{(n-j)!}{n!} |s(n+1, n+1-j)| \alpha^j \bmod \alpha^{n+1}.$$

Aquí

$$\frac{\alpha}{1 - e^{-\alpha}} = \sum_{i=0}^{\infty} (-1)^i \frac{B_i \alpha^i}{i!}$$

es una de las funciones generadoras para los números de Bernoulli, y $|s(n+1, n+1-j)|$ es un número de Stirling del primer tipo sin signo Stirling..

Motivo (siéntase libre de ignorar): esta identidad proviene de dos cálculos diferentes de la clase Todd de $\mathbb{CP}^n$. Uno utiliza la secuencia de Euler. El otro implica calcular la característica euleriana holomórfica $\chi(\mathcal{O}(k))$ de las rectificaciones de línea $\mathcal{O}(k)$ usando que la cohomología superior de $\mathcal{O}(k)$ se anula para $k$ suficientemente grande y que para $k \ge 0$, $H^0(\mathcal{O}(k))$ es la dimensión del espacio de polinomios homogéneos de grado $k$ en $n+1$ variables, que es ${k+n \choose n}$, luego averiguar qué debe ser la clase Todd usando Hirzebruch-Riemann-Roch. Esto es un poco indirecto, por decir lo menos, y no tengo idea de cómo convertirlo en combinatoria.

Answer 1

Los coeficientes $B_j^{(r)}$ definidos por $$\sum_{j = 0}^\infty B_j^{(r)} {{x^j}\over{j!}} = \left({x\over{e^x - 1}}\right)^r$$ suelen ser llamados números de Bernoulli de orden superior, por lo que tu identidad es una fórmula para $B_j^{(r)}$ para $j < r$.

Sea $c(n, k) = |s(n, k)| = (-1)^{n - k}s(n, k)$. Esta es una notación bastante estándar, utilizada, por ejemplo, en la "Combinatoria Enumerativa" de Stanley. Luego $${{(-\log(1 - x))^k}\over{k!}} = \sum_{n = k}^\infty c(n, k) {{x^n}\over{n!}}.$$ Diferenciando esta ecuación obtenemos $${{(-\log(1 - x))^k}\over{(1 - x)k!}} = \sum_{n = k}^\infty c(n + 1, k + 1) {{x^n}\over{n!}}.\tag*{$(1)$}$$ Para cualquier serie de Laurent formal $f = f(\alpha)$, definimos el residuo de $f$, denotado $\text{res}\,f$, como el coeficiente de $\alpha^{-1}$ en $f$. Por lo tanto, el coeficiente de $\alpha^k$ en $f$ es $\text{res}\,f/\alpha^{j + 1}$.

Aplicaremos la fórmula de cambio de variables de Jacobi para residuos, que es una forma de la fórmula de inversión de Lagrange. Consulta, por ejemplo, en la encuesta de Gessel sobre inversión de Lagrange en https://arxiv.org/abs/1609.05988, Teorema 4.1.1.

Supongamos que $f(\alpha)$ es una serie de Laurent formal en $\alpha$ y que $g(\alpha) = g_1 \alpha + g_2\alpha^2 + \ldots$ es una serie de potencias formal en $\alpha$ con $g_1 \neq 0$. Entonces, la fórmula de Jacobi dice que $$\text{res}\,f(\alpha) = \text{res}\,f(g(\alpha))g'(\alpha).$$ Aplicamos la fórmula de Jacobi con $$f(\alpha) = \left({\alpha\over{1 - e^{-\alpha}}}\right)^{n + 1} \alpha^{-j - 1}$$ y $$g(\alpha) = -\log(1 - \alpha).$$ Luego, el coeficiente de $\alpha^j$ en $$\left({\alpha\over{1 - e^{-\alpha}}}\right)^{n + 1}$$ es\begin{align*} \text{res}\,f(\alpha) & = \text{res}\,f(g(\alpha))g'(\alpha) \\ & = \text{res}\, {{(-\log(1 - \alpha)/\alpha)^{n + 1}}\over{(-\log(1 - \alpha))^{j + 1}(1 - \alpha)}} \\ & = \text{res}\,{{(-\log(1 - \alpha))^{n - j}}\over{\alpha^{n + 1}(1 - \alpha)}}. \end{align*} Este es el coeficiente de $\alpha^n$ en $${{(-\log( 1- \alpha))^{n - j}}\over{1 - \alpha}}$$ que, por $(1)$, es $${{(n - j)!}\over{n!}} c(n + 1, n - j + 1).$$