Dado un ángulo a y un vector v, ¿cuál es el cuaternión que representa esa rotación en 3D?

Question

Y viceversa, dado un cuaternión, ¿cuál es el ángulo y el vector que representa esa rotación?

He leído en otro lugar que un vector se puede convertir en un cuaternión mediante v_to_q : [x,y,z] -> (0, x, y, z).

Entonces, si por un lado tomo un vector v_0, y lo roto alrededor del vector v por un ángulo a para obtener el vector v_1,

y por otro lado tomo el cuaternión v_to_q(v_0), y aplico la misma rotación en forma de cuaternión (es decir, el cuaternión representado por el ángulo a y el vector v),

entonces debería obtener el mismo cuaternión al que mapea v_1: v_to_q(v1). ¿Verdad?

Answer 1

La respuesta a tu última pregunta es un rotundo sí.

En cuanto a tu primera pregunta, supongamos que tenemos un ángulo $\theta$ y un vector de eje unitario $v$ representado como un cuaternión imaginario. Entonces, el cuaternión de rotación es simplemente $$q = e^{\theta v/2} = \cos\theta/2 + v\sin\theta/2$$ y rota un vector (cuaternión imaginario) $w$ mediante $$w \mapsto qw\bar q$$ donde $\bar q$ es el conjugado. Observa que $-q$ representa la misma rotación, por lo que en general no podemos distinguir entre $\pm q$ sin convenciones adicionales.

Ahora debería estar claro que dado un cuaternión de rotación $q = q_0 + q_i$ donde $q_0$ es un escalar y $q_i$ es la parte imaginaria, el eje y el ángulo podrían ser dados por $$v = \frac{q_i}{|q_i|},\quad \tan\theta/2 = \frac{|q_i|}{q_0}$$ donde $|q_i| = \sqrt{\bar q_iq_i}$. Variaciones menores son posibles debido a la mencionada equivalencia entre $q$ y $-q$ y también si queremos $v$ o $-v$.