La Colaboración Planck ha citado el tamaño angular del horizonte de sonido:$$\Theta_*= 0.0104$$Decidí intentar un cálculo rápido, aproximado, para entender cómo llegaron a este valor. El corrimiento al rojo del CMB se estima en 1090 basado en el modelo de recombinación de Peebles. Usando la calculadora de Ned Wright, eso da una Distancia Angular de Tamaño$$D_A = 12.723\space {\rm Mpc}$$ Así que ahora necesitamos el horizonte de sonido físico, que es la distancia que el sonido viaja en el plasma desde el inicio de los tiempos hasta la recombinación. Según la misma calculadora de Ned, $t(z_{CMB}) = 372,000$ años. La distancia que el sonido viaja en ese tiempo es:$$\int_0^{t_{CMB}}\frac{c}{\sqrt{3\left(1+\frac{3\rho_B(1+z)^3}{4\rho_{\gamma}(1+z)^4} \right)}}dt$$Pero puede aproximarse de manera segura por $\frac{c\space t}{\sqrt{3}}$ (porque la densidad de bariones está muy por debajo de la de radiación durante la mayor parte del rango integral), por lo que el horizonte de sonido es aproximadamente:$$r_S=0.066\, {\rm Mpc}$$ Lo que significa que el ángulo es:$$\Theta_*=\frac{r_s}{D_A}=\frac{0.066}{12.723}=0.005$$ Esto es casi la mitad del valor citado en el Estudio Planck y, de ninguna manera que pueda encontrar, nos lleva a un multipolo de $l=220$ ($\Theta_*=0.015)$. Entonces, ¿qué falta en este cálculo (probablemente) ingenuo?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Creo que hay un pequeño problema en tu suposición de que el universo está dominado por radiación hasta el punto de recombinación. Realmente eso no es cierto.
Pero eso no ayuda porque significa que la velocidad del sonido es menor y por lo tanto tu horizonte de sonido es (un poco) más pequeño.
Creo que el problema principal es tu cálculo de la distancia del horizonte de sonido. Esto no es válido en un universo en expansión. Por ejemplo, la distancia actual (de luz) del horizonte es de aproximadamente 46 mil millones de años luz, no de 13.7 mil millones de años luz.
Como se describe en el documento de colaboración Planck (2013) que citas: "El tamaño angular característico de las fluctuaciones en el CMB se llama escala acústica. Se determina por el tamaño comóvil del horizonte de sonido en el momento de la última dispersión, rs(z∗), y la distancia angular de diámetro en la que estamos observando las fluctuaciones, DA(z∗)".
El cálculo correcto de la distancia comóvil del horizonte de sonido en la recombinación es $$r_{s,z*} = \int^{t_{\rm rec}}_0 \frac{c_s dt}{a(t)} = \int^{a_{\rm rec}}_0 \frac{c_s\ da}{H\, a^{2}} = \frac{c_s}{\Omega_m^{1/2}H_0} \int^{\infty}_{z_{\rm rec}} \frac{dz}{(1+z)^{3/2}}$$ (por ejemplo, ver aquí.) y también ver la ecuación 6 del documento de colaboración Planck que citas donde se ha hecho la suposición de un universo dominado por materia con $da/dt = aH$ y $H \simeq H_0 \Omega_m^{1/2} a^{-3/2}$ y notar que $a = (1+z)^{-1}$.
Para los parámetros típicamente asumidos y asumiendo que la velocidad del sonido es $c/\sqrt{3}$, esto da como resultado $$r_{s,z*} = \frac{2c}{\sqrt{3}\Omega_m^{1/2} H_0}(1 + z_{\rm rec})^{-1/2}$$ Para $H_0 = 70$ km/s/Mpc, $\Omega_m=0.3$ y $z_{\rm rec} = 1090$, esto da alrededor de 270 Mpc, lo cual debe dividirse por $1+z_{\rm rec}$ para ponerlo en términos de distancia angular de diámetro de tu cálculo.
Esto da una escala angular de 0.019 radianes.
Pero si la velocidad del sonido es más lenta entonces esta escala se vuelve más pequeña.
La velocidad del sonido es en realidad $$c_s = \frac{c}{\sqrt{3(1+3\rho_b/4\rho_r)}} $$ y la razón de densidad de bariones a radiación aumenta con el tiempo en proporción al factor de escala $a(t)$. En la recombinación la razón $3\rho_b/4\rho_r\sim 1$, y $c_s(t_{\rm rec}) \simeq c/\sqrt{6}$.
Esto proporciona una corrección a la baja al horizonte de sonido angular de aproximadamente el tamaño correcto.
