Submatrices principales de una matriz definida positiva

Question

Sea $\mathbf{A}\in\mathbb{R}^{N \times N}$ simétrica y definida positiva. Para algún $1\leq k, particione $$\mathbf{A}=\begin{pmatrix}\mathbf{A}_{11} & \mathbf{A}_{12} \\ \mathbf{A}_{12}^T & \mathbf{A}_{22}\end{pmatrix},$$ donde $\mathbf{A}_{11}$ es $k\times k$ y $\mathbf{A}_{22}$ es $(N-k)\times (N-k)$.

Estoy tratando de demostrar que las submatrices principales $\mathbf{A}_{11}$ y $\mathbf{A}_{22}$ también son simétricas y definidas positivas.

He logrado demostrar que

$$\left [ \begin{array}{cc} \mathbf{A}_{11} & \mathbf{A}_{12}\\ \mathbf{A}_{12}^T & \mathbf{A}_{22} \end{array} \right ] = \mathbf{A} = \mathbf{A}^T = \left [ \begin{array}{cc} \mathbf{A}_{11}^T & \mathbf{A}_{12}\\ \mathbf{A}_{12}^T & \mathbf{A}_{22}^T \end{array} \right ]$$

Esto implica que $\mathbf{A}_{11} = \mathbf{A}_{11}^T$, y $\mathbf{A}_{22} = \mathbf{A}_{22}^T$. Por lo tanto, $\mathbf{A}_{11}$ y $\mathbf{A}_{22}$ son simétricas.

Estoy teniendo dificultades para demostrar que $\mathbf{A}$ es definida positiva. ¿Alguien tiene alguna idea?

Answer 1

Sabes que la positividad definida significa $v^TAv>0$ para todos los vectores no nulos $v$. Elige $v$ para ser vectores con entradas no nulas solo en las primeras $k$ posiciones. (Y luego haz lo opuesto).