Hay dos buenas respuestas que puedo ver, explicaré ambas.
Si definimos las funciones $\ln x$ y $e^x$ para entradas y salidas reales, hay un problema con $\ln x$ cuando $x$ es negativo. Esto se puede ver de la siguiente manera: al graficar la función exponencial $y=e^x$, se puede ver que no pasa por debajo del eje $x$. Esto significa que $e^x>0$ para todo $x\in \mathbb{R}$. Se sigue que no hay ningún número real $x$ tal que $e^x=-7$ y por lo tanto, aunque quisiéramos que $e^{\ln(-7)}=-7$ por la razón que diste, no hay ningún número real que juegue el papel correcto para $\ln(-7)$. En general, no logramos encontrar un buen candidato (en los números reales, ver abajo) para lo que debería ser $\ln x$ si $x$ es negativo. Por esta razón, a veces se declara que $\ln x$ solo está definido para $x>0$. Esta es la razón por la que ves a personas aquí diciendo que la afirmación es falsa. Podrías usar este razonamiento para concluir que en lugar de verdadero o falso, la afirmación está mal definida (lo cual creo que sería un poco más preciso).
Ahora hay otro contexto en el que hay un número $x$ tal que $e^x=-7$, es decir, si permitimos los números complejos. Si no estás familiarizado con ellos, puedes revisar esta parte después de aprenderlos. Si estás familiarizado, la respuesta es así. La función exponencial $e^z$ puede ser definida para números complejos $z=x+iy$:
$$e^z=e^x(\cos y+i\sin y)$$
para entender esto, busca la fórmula de Euler (pero ignora cosas sobre su otra fórmula $V-E+F=2$). Esta definición permite que $e^z$ sea igual a cualquier número complejo no nulo, por lo tanto, podemos resolver $e^z=-7$ si $z$ puede ser complejo. Esto lleva a la definición que Metehan Turan da en su respuesta. En este caso, $$\ln(-7)=\ln 7+i\pi$$
Al sustituir esto, vemos que
\begin{align*} e^{\ln 7+i\pi}&=e^{\ln 7}(\cos \pi+i\sin \pi)\\ &=-7 \end{align*}
por lo tanto, se puede decir que la afirmación es verdadera en esta interpretación.
*Debe tenerse en cuenta que hay más de un número complejo que es un valor razonable para el logaritmo natural de un número complejo no nulo dado. Decimos que es multivaluado o que no está únicamente definido.
Adición Puedes preguntarte por qué a la gente le molestaría con la versión de logaritmo solo para números reales y la respuesta radica en gran medida en el hecho de que el logaritmo complejo no está únicamente definido, y, quizás peor, ¡cualquiera que sea la definición que se dé, no es continua! Esto es bastante malo, pero es un elemento fundamental del hermoso tema del análisis complejo. Un estudio profundo de ese tema aclarará todas estas preguntas.
