Derivados transfinitos

Question

No sé si esto es exactamente el nivel de investigación, ya que sólo estoy empezando la universidad. Pero siento que este es el mejor lugar para hacer la pregunta. Todos conocemos las derivadas 1ª, 2ª, 3ª y enésima. ¿Hay alguna forma de extenderlo a los ordinales transfinitos? Más concretamente, ¿alguien puede mostrarme un enlace a una página web o a un artículo que discuta este concepto? Incluso si esta pregunta se cierra, me gustaría un enlace a uno o varios documentos sobre este concepto. He buscado en google, pero no encuentro nada.

Answer 1

En la obra de Ralph P. Boas Una cartilla de funciones reales En la página 118, esto se discute de la siguiente manera: El derivada de orden infinito de $f$ se define en un intervalo $I$ si la secuencia $(f^{(n)})$ converge uniformemente en $I$ (basta con exigir una convergencia uniforme en subconjuntos compactos de $I$ ). Llame a $L$ el límite de esta secuencia, por lo que $L$ es continua y, por tanto, integrable en Riemann sobre intervalos acotados. Fijemos $a\in I$ y para $x\in I$ considere $\lim_n\int_a^x f^{(n)}$ . Tenga en cuenta que, por un lado, esto es $$\lim_n (f^{(n-1)}(x)-f^{(n-1)}(a))= L(x)-L(a),$$ y por el otro es $\int_a^x L$ Es decir $L(x)=ce^x$ para alguna constante $c$ , lo que termina por trivializar la noción. La referencia que se da allí es Lee Lorch, Derivadas de orden infinito , Pacific Journal of Mathematics, 3 , (1953), 773-778, MR0060553 (15,689c) .

Utilizamos la convergencia uniforme en subconjuntos compactos dos veces. Primero, para asegurar que $L$ es integrable, aunque de hecho obtenemos más, ya que $L$ termina siendo $C^\infty$ . Y en segundo lugar, para asegurar que el límite de las integrales es la integral del límite. Podemos evitar referirnos a la integración utilizando en su lugar el siguiente hecho bien conocido:

Si $(f_n)_n$ es una secuencia de funciones diferenciables en un intervalo $I$ , $a\in I$ , $(f_n(a))_n$ converge, y $(f_n')_n$ converge uniformemente, entonces $(f_n)$ converge uniformemente a una función diferenciable $f$ tal que $f_n'\to f'$ .

De ello se deduce que si $(f^{(n)})_n$ converge uniformemente, entonces el límite $L$ es $C^\infty$ y satisface $L=L'$ .

El documento de Lorch proporciona referencias adicionales que discuten varias nociones de derivadas de orden infinito (para $C^\infty$ y especialmente para las funciones analíticas), y discute también algunas variantes. El documento y algunas de las referencias que enumera (en particular los documentos de Boas-Chandrasekharan), discuten algunos de los problemas con las diferentes sugerencias, y el tipo de resultados que uno puede esperar en cada caso.

Answer 2

Como señalaron Qiaochu y David, el límite $d^n f(x)/dx^n$ no tiene mucho sentido. Sin embargo, puede considerar las series de potencia formales $a(f):=\Sigma_{n=0}^\infty a_nt^n$ sobre una variable indeterminada $t$ con coeficientes $a_n=\frac{1}{n!}\frac{d^n f(x)}{dx^n}$ .

Estas series formales, con la regla del producto formal $(ab)_n=\Sigma_{k=0}^n a_kb_{n-k}$ encapsularía todas las derivadas. Puedes ver esta serie de potencias formal infinita como un "límite transfinito" para las derivadas finitas.

Sin duda has reconocido las series de Taylor, pero no se trata de producir series que converjan a la función dado un valor específico de $t$ El objetivo es producir un objeto que encapsule, de alguna manera, el límite de $n^{th}$ derivado para $n\to\infty$ . Y el objeto apropiado para ello no es una función que es la "derivada infinita", el objeto apropiado es una expresión que encapsula infinitas derivadas.

De hecho, algo así aparece con bastante frecuencia en la Geometría Algebraica: si el propio objeto (como $n^{th}$ derivada en este caso) no se generaliza directamente en el dominio deseado (en este caso $n=\infty$ ) entonces sustituye el objeto por un functor de una categoría más general (en este caso la categoría es la serie formal de potencias, el functor es el $n^{th}$ término de la serie veces $n!$ y la intuición que guía esta categorización es la serie de Taylor), para luego proceder a trabajar dentro de la categoría más general.