¿Cómo resolver esta Ecuación Diferencial Ordinaria (ODE)?

Question

Usando el método de coeficientes indeterminados, encuentra la solución particular $y_p$ para esta ecuación diferencial inhomogénea. $$y''+y= \sin x + x\cos x$$

He encontrado las raíces que son $\pm i$.

y la función complementaria $y_c= (C_1 \cos x + C_2\sin x)$

La respuesta dada es: $(x/4)[x\sin x-\cos x]$

Answer 1

Al establecer $C_1=C_1(x)$ y $C_2=C_2(x)$, tenemos $y=C_1(x)\cos x+C_2(x)\sin x$. Sustituye esto en la ecuación. Obtendrás un sistema de ecuaciones en las derivadas de $C_1,C_2$. Debes asumir que la suma de todos los términos que contienen $C_1''(x)$ y $C_2''(x)$ es cero. Ahora encuentra $C_1(x)$ y $C_2(x)$. Es decir: $$\begin{array}{l} y=C_1(x)\cos x+C_2(x)\sin x\\ y'=-C_1(x)\sin x+C_2(x)\cos x+C_1'(x)\cos x+C_2'(x)\sin x\\ \begin{align*}y''=&-C_1(x)\cos x-C_2(x)\sin x-C_1'(x)\sin x+C_2'(x)\cos x\\&-C_1'(x)\sin x+C_2'(x)\cos x+C_1''(x)\cos x+C_2''(x)\sin x\end{align*}\\ \end{array}$$ $$\begin{align*} \sin x+x\cos x &=y''+y=C_1(x)\cos x+C_2(x)\sin x-C_1(x)\cos x-C_2(x)\sin x\\&-C_1'(x)\sin x+C_2'(x)\cos x-C_1'(x)\sin x+C_2'(x)\cos x+C_1''(x)\cos x+C_2''(x)\sin x \end{align*}$$ $$\left\{\begin{array}{l} 2C_2'(x)\cos x-2C_1'(x)\sin x=\sin x+x\cos x\\ C_1''(x)\cos x+C_2''(x)\sin x=0 \end{array}\right.$$ $$C_2'(x)=\frac12\left(\tan x+x+C_1'(x)\tan x\right)$$ $$C_2''(x)=\frac12\left(\frac{1}{1+x^2}+1+C_1'(x)\frac{1}{1+x^2}+C_1''(x)\tan x\right)$$ $$0=C_1''(x)\cos x+\frac12\left(\frac{\sin x}{1+x^2}+\sin x+C_1'(x)\frac{\sin x}{1+x^2}+C_1''(x)\cos x\right)$$ $$C_1''(x)+C_1'(x)\frac13\frac{\tan x}{1+x^2}+\frac13\frac{\tan x}{1+x^2}+\frac13\tan x=0$$ Ahora encuentra $C_1(x)$ y $C_2(x)$.

Answer 2

Además del enfoque de Dennis, también puedes usar el método del aniquilador http://www.utdallas.edu/dept/abp/PDF_Files/DE_Folder/Annihilator_Method.pdf. De acuerdo con este método, obtendrás: $$(D^2+1)^3y=0$$ por lo que podemos suponer que $$y(x)=y_p(x)+y_c(x)\\=A\cos(x)+B\sin(x)+Ex\cos(x)+Fx\sin(x)+Gx^2\cos(x)+Hx^2\sin(x)$$ Ahora selecciona $y_c(c)$ de la solución. Obtendrás $y_P(x)$.

Answer 3

Considere la ecuación diferencial $$ \left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}+a\right)y=f(x)\tag{1} $$ Esto se puede resolver usando un factor integrante. Supongamos $$ g'(x)=ag(x)\tag{2} $$ entonces $$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(g(x)y)=g(x)y'+ag(x)y=g(x)f(x)\tag{3} $$ La Ecuación $(3)$ es simplemente $(1)$ multiplicado por $g(x)$. Note que $(2)$ es lo mismo que $$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\log(g(x))=a\tag{4} $$ lo cual está satisfecho por $$ g(x)=e^{ax}\tag{5} $$ sustituyendo $(5)$ nuevamente en $(3)$ tenemos $$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(e^{ax}y\right)=e^{ax}f(x)\tag{6} $$ lo cual se convierte en $$ y=e^{-ax}\int e^{ax}f(x)\,\mathrm{d}x\tag{7} $$

---

$y''+y=\sin(x)+x\cos(x)$ es simplemente $$ \left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}+i\right)\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}-i\right)y=\sin(x)+x\cos(x)\tag{8} $$ Usando $(7)$ una vez con $a=i$ da $$ \begin{align} \left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}-i\right)y &=e^{-ix}\int e^{ix}(\sin(x)+x\cos(x))\,\mathrm{d}x\\ &=e^{-ix}\left(\frac{x^2}4+\frac{ix}2+c_1\right)-e^{ix}\left(\frac{ix}4+\frac18\right)\tag{9} \end{align} $$ Usando $(7)$ nuevamente con $a=-i$ da $$ \begin{align} y &=e^{ix}\int e^{-ix}\left(e^{-ix}\left(\frac{x^2}4+\frac{ix}2+c_1\right)-e^{ix}\left(\frac{ix}4+\frac18\right)\right)\,\mathrm{d}x\\ &=e^{-ix}\left(\frac{ix^2}8-\frac x8\right)-e^{ix}\left(\frac{ix^2}8+\frac x8\right)+c_1^\prime e^{-ix}+c_2^\prime e^{ix}\\ &=\frac{x^2}4\sin(x)-\frac x4\cos(x)+c_1^{\prime\prime}\cos(x)+c_2^{\prime\prime}\sin(x)\tag{10} \end{align} $$