Reguralidad de EDPs, pregunta general (Ejemplo: ecuación de Kolmogórov)

Question

Consideremos un operador diferencial $L$ y la EDP $$Lu=0$$ con algunas condiciones de contorno (asumamos condiciones de Neumann). Por ejemplo, la ecuación de Kolmogorov $$(1) \quad Lu(t,x) = \partial_t u(t,x) + b(t,x) \partial_x u(t,x)+ \frac{1}{2}\partial_x^2 u(t,x) =0, \quad u(T,x) = g(x), \quad t\in [0,T].$$

Luego podemos considerar la ecuación adjunta, es decir $$L^\ast u =0$$ que en el ejemplo anterior es la ecuación de Fokker-Planck $$(2) \quad L^\ast u(t,x) = -\partial_t u(t,x) -\partial_x [b(t,x)u(t,x)]+\frac{1}{2} \partial_x^2 u(t,x), \quad u(0,x)=g(x), \quad t\in [0,T].$$

Mi pregunta es: ¿Cualesquiera propiedades de regularidad que obtengas para $u$ a partir de (1), son transferibles a (2)?. En otras palabras, ¿estudiar (1) es equivalente a estudiar (2) en lo que respecta a la buena formulación y regularidad de la solución? Estoy especialmente interesado en este asunto para esta EDP en particular (Kolmogorov)

¡Gracias por cualquier comentario o idea!

Answer 1

Primero necesitas definir un espacio de Hilbert adecuado en el que evolucionen los estados. ¡El espacio estatal debe ser elegido de tal manera que para una condición de frontera particular, la EDP produzca una y solo una solución!

La EDP aquí consiste en un operador lineal y otro no lineal. Aplica el teorema de Lumer-Phillips para asegurarte de que la parte lineal sea el generador de un (contracción) semigrupo. Luego mira la parte no lineal, existen muchos escenarios:

• Una no linealidad diferenciable de Frechet

• Una no linealidad localmente lipschitziana

• Una no linealidad localmente lipschitziana en las potencias fraccionarias del espacio estatal (solo si el semigrupo es analítico, también llamadas EDP parabólicas)

Una vez que hayas terminado con la bien definición y unicidad. Puedes definir el sistema adjunto para que sea el sistema en el que el producto interno del estado adjunto con el estado original permanezca constante.

Para un sistema lineal todo es más sencillo, y muchas propiedades se transfieren al sistema adjunto. Sin embargo, para una EDP no lineal, el resultado de existencia y unicidad no se puede transferir.