Conozco muy poco la teoría de categorías, pero encontré unos buenos apuntes y estoy seguro de que puedo buscar las definiciones si algo no está claro. Dicho esto, Wikipedia menciona que la complejificación puede considerarse un funtor, pero no entra en detalles y no conozco otra referencia. Si alguien puede dar una explicación detallada, sería genial.
Respuestas
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Hektor
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Para un campo $k$ existe una categoría ${\rm Vec}_k$ cuyos objetos son espacios vectoriales de $k$ y cuyos mapas son mapas lineales de $k$. La complejización es una forma de convertir espacios vectoriales de $\mathbb R$ en espacios vectoriales de $\mathbb C$. Esto sugiere que existe una relación entre las categorías ${\rm Vec}_{\mathbb R}$ y ${\rm Vec}_{\mathbb C}$.
Intentemos definir un funtor $F : {\rm Vec}_{\mathbb R} \to {\rm Vec}_{\mathbb C}$ usando la complejización. En los objetos funciona como se espera: para $V \in {\rm Vec}_{\mathbb R}$ definimos $F(V) = V^{\mathbb C} = V\otimes_{\mathbb R} \mathbb C$. Este es un espacio vectorial complejo con multiplicación escalar de $\mathbb C$ dada por $$ \lambda \cdot (v \otimes z) = v \otimes \lambda z. $$
Ahora necesitamos definir $F$ en los morfismos de ${\rm Vec}_{\mathbb R}$, una elección razonable es asignar, para cada mapa lineal de $\mathbb R$ $f : V \to W$ el mapa $F(f) = f \otimes_{\mathbb R} {\rm id}_{\mathbb C} : V^{\mathbb C} \to W^{\mathbb C}$. El mapa $F(f)$ es $\mathbb C$-lineal.
Puedes verificar fácilmente que $F$ satisface la definición de un funtor, por ejemplo si $f, g$ son mapas componibles $\mathbb R$-lineales tenemos $$F(gf) = gf\otimes {\rm id}_{\mathbb C} = (g \otimes {\rm id}_{\mathbb C}) (f \otimes {\rm id}_{\mathbb C} ) = F(g)F(f)$$ y también $F({\rm id}_V) = {\rm id}_{F(V)}$.
Si deseas leer más sobre este tipo de funtores en general, deberías echar un vistazo a inducción y restricción de escalares.
Filippo
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38
Considera el funtor obvio asignando un espacio vectorial real a cada espacio vectorial complejo, entonces la complejificación es una adjunción y esto es solo una reformulación de la definición que propuse en esta pregunta (es decir, ambas caracterizaciones son equivalentes):
Le eché un vistazo al segundo capítulo en Basic Category Theory de Tom Leinster y proporciona todos los resultados necesarios para una explicación detallada. En particular, podemos probar la equivalencia basada en las diferentes formulaciones de la definición de adjunciones que se presentan en ese capítulo.
