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¿Nombre para un anillo que también tiene composición - también conocido como aplicación de función?

¿Qué tipo de anillo es el siguiente? ¿Tiene un nombre?

Supongamos que $(R,\cdot,+,0,1)$ es un anillo con otra operación binaria, $\circ$ con las propiedades:

$$(a\circ b)\circ c=a\circ(b\circ c)\\ (a+b)\circ c=(a\circ c)+(b\circ c)\\ (a\cdot b)\circ c = (a\circ c)\cdot (b\circ c)\\ 0\circ c = 0; 1\circ c=1$$

Muchos de estos anillos tienen una identidad $\circ$ desde la izquierda y la derecha.

Ejemplo Fundacional 1: Dado un anillo $S$, el conjunto $S^S$ de todas las funciones $S\to S$ con suma y multiplicación punto a punto y composición para $\circ$:

$$(f+g)(s)=f(s)+g(s)\\(fg)(s)=f(s)g(s)(f\circ g)(s)=f(g(s))$$

Esto tiene una identidad $\circ$ desde la izquierda y la derecha, $I(s)=s$.

Cada álgebra $R$ de este tipo con una identidad $\circ$ desde la derecha en esta clase es isomorfa a una sub-álgebra de algún $S^S$, específicamente, con $S=R$. Esto es porque si $f_a=c\mapsto a\circ c$ entonces si $f_a=f_b$ entonces $a=f_a(X)=f_b(X)=b$ donde $X$ es la identidad derecha.

Ejemplo Fundacional 2: Dado un anillo conmutativo $S$, $S[x]$ con composición de polinomios. Este caso tiene una identidad $\circ$ desde la izquierda y la derecha, $x$.

Funciones Continuas: Dado un anillo topológico, el conjunto de funciones continuas $S\to S$ satisface esta condición, con la función identidad como una identidad $\circ$ desde la izquierda y la derecha.

Funciones Enteras: El anillo de funciones enteras $\mathbb C\to\mathbb C$ es un dominio integral, que contiene (una imagen isomorfa de) $\mathbb C[x]$, con $\circ$ siendo la composición estándar de funciones.

Ejemplo Menos Conocido: El conjunto de todas las funciones $f:\mathbb Z\to\mathbb Z$ con la condición: $$f(m)\equiv f(n)\pmod{m-n}$$ para todo $m,n\in\mathbb Z$.

Este anillo es un dominio integral impar que contiene una imagen isomorfa de $\mathbb Z[x]$, ya que cada función polinómica entera es de este tipo, pero hay más elementos que no son polinomios (y algunas funciones polinómicas no enteras también). Tiene a $I(n)=n$ como identidad $\circ$ desde la izquierda y la derecha.

La condición puede verse como un requisito de cierta "suavidad" de las funciones en todas las métricas $p$-ádicas. Se puede ver que cumplen cierta continuidad uniforme fuerte / continuidad de Lipschitz en todos los $p$-ádicos. En particular, para cualquier $p$, tenemos que $f$ se puede extender a los números $p$-ádicos de forma única para hacerlo continuo, y $\|f(a)-f(b)\|_p\leq \|a-b\|_p$ para todos los enteros $p$-ádicos $a,b$. De hecho, es esencialmente un criterio de "Lipschitz limitado" - esto no funciona en general, pero sí funciona en anillos de valuación no Arquimedianos.

Relacionado: Si $(S,\|\|_S)$ es un anillo de valuación no Arquimediana con valuación acotada $\|s\|_S\leq 1$ (piense en los enteros $p$-ádicos, o los enteros racionales bajo la norma $p$-ádica). Entonces podemos tomar el anillo $R$ de funciones $f:S\to S$ con la propiedad:

$$\|f(r)-f(s)\|_S\leq \|r-s\|_S$$

Este es un anillo del tipo mencionado anteriormente.

Si tomamos $S=(\mathbb Z,\|\|_p)$, los enteros con la norma $p$-ádica, este conjunto $R_p$ es simplemente todas las funciones $f:\mathbb Z\to\mathbb Z$ tales que $p^k\mid f(n+p^k)-f(n)$ para todo $n\in\mathbb Z$ y $k>0$.

Luego, el anillo original al comienzo de esta sección se puede ver como $\bigcap_p R_p$. La intersección de sub-álgebras es siempre un sub-álgebra.

Algo que se acerca pero sin unidad multiplicativa: El anillo de funciones meromórficas $\mathbb C\to\mathbb C$ es casi de esta forma, pero cuando $c(x)=C$ es constante y $h(x)$ no está definida en $C$, no obtenemos una función meromórfica. Sin embargo, si relajamos la condición y no requerimos que $R$ tenga una unidad multiplicativa, podemos tomar el anillo de funciones meromórficas $f$ con $f(0)=0$. Entonces el conjunto de esas funciones es un anillo de este tipo.

Un algo relacionado: La sub-álgebra de $S[[x]]$ de series de potencias formales sobre un anillo $S$, sin término constante. De nuevo, sin unidad multiplicativa, pero se cumplen todas las demás condiciones.

Propiedades:

Para cualquier $f\in R$, $R_{f}=\{a\circ f\mid a\in R\}$ es un sub-álgebra. La condición de que $0\circ f=0,1\circ f=1$ muestra que $0,1\in R_f$. De hecho, $R_f$ es un sub-álgebra, porque $(a\circ f)\circ (b\circ f)=(a\circ f\circ b)\circ f$. Más generalmente, dado $g\in R$ y $a\in R_f$ entonces $g\circ a\in R_f$. Por lo tanto, $R_f$ es algo así como un $\circ$-ideal derecho.

Por ejemplo, la sub-álgebra de funciones enteras pares es $R_{x^2}$.

El subanillo $R_0=\{a\circ 0\mid a\in R\}$ tiene la propiedad de que si $r\in R_0$ entonces $r\circ f = (a\circ 0)\circ f = a\circ(0\circ f)=a\circ 0=r$ para cualquier $f$.

Observa que $R_0\subseteq R_f$ para cualquier $f$. De hecho, si $r\in R_0$ entonces $r=a\circ 0 = a\circ(0\circ f)=(a\circ 0)\circ f$. Ahora, si $f\in R_0$, obtenemos $R_0=R_f$ porque $a=a\circ f =a\circ(f\circ 0) = (a\circ f)\circ 0$.

Por otro lado, si $a=a\circ f$ para todo $f$, entonces $a=a\circ 0$ así que $a\in R_0.

Básicamente, $R_0$ es realmente "todas" las funciones constantes. Además, para $f\in R$ y $r\in R_0$, $f\circ r\in R_0$.

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celtschk Puntos 13058

Esto parece ser muy similar a un anillo de composición, excepto que los axiomas en Wikipedia no incluyen los axiomas $0\circ c=0$ y $1\circ c=1$ (y de hecho, no requieren un anillo unitario, por lo que puede que no haya un $1$), pero requieren un anillo conmutativo, lo cual no necesitas.

Sin embargo, $0\circ c=0$ se sigue de $0\circ c = (0+0)\circ c = (0\circ c) + (0\circ c)$, así que al menos ese axioma es superfluo.

Para $1\circ c$ esto no funciona, ya que en un anillo no necesitas tener cancelación multiplicativa. Por lo tanto, esta es una condición extra verdadera para un anillo de composición; de hecho, la página de Wikipedia vinculada contiene un ejemplo que contradice explícitamente este axioma (es decir, $f\circ g=0$ para todo $f,g\in R$).

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