Encontrar un ejemplo de conjuntos cerrados y conexos no homeomórficos

Question

Pregunta: Encuentra dos subconjuntos cerrados y conexos en $\mathbb{R}^2$, $A$ y $B$, tal que $A$ no es homeomorfo a $B$, pero hay una biyección continua $f: A \rightarrow B$ y una biyección continua $g: B \rightarrow A.

Esta es una pregunta de tarea, así que por favor solo pistas muy pequeñas. Me doy cuenta de que tanto $A$ como $B$ no deben ser compactos. Dado que ambos deben ser cerrados, entonces deben ser ilimitados. Sin embargo, estoy teniendo dificultades para empezar. Es muy fácil encontrar dos subconjuntos cerrados, ilimitados y conectados del plano que no son homeomorfos entre sí, pero es difícil encontrar las biyecciones continuas requeridas.

Sé que el ejemplo clásico de una biyección continua con una inversa discontinua es un mapa $f: [0,2\pi) \rightarrow \mathbb{S}^1$ dado por $f(x) = (\cos x, \sin x)$. Estoy tratando de usar este mapa como plantilla para idear mis conjuntos pero no tengo éxito.

Answer 1

Para $T\subseteq \Bbb Z$ sea $$C(T)=\bigl(\Bbb R\times\{0\}\bigr)\cup\bigcup_{n\in T}\bigl(\tfrac13S^1+(n,\tfrac13)\bigr) \cup \bigcup_{n\in\Bbb Z\setminus T}\bigl(\{n\}\times [0,\infty)\bigr),$$ es decir, $C(T)$ es la recta real con una copia pequeña de $S^1$ o un rayo adjunto a cada punto entero, dependiendo de si ese entero está en $T$ o no. Observa que $C(T)$ es conexo por caminos y cerrado.

Lema 1. Tenemos $C(T)\approx C(T')$ si y solo si $T'=\pm T+k$ para algún $k\in\Bbb Z.

Prueba. Claramente, si $T'=\pm T+k$ para algún $k\in\Bbb Z$, entonces $(x,y)\mapsto (\pm x+k,y)$ es un homeomorfismo $C(T)\to C(T').

Por otro lado, para un punto $p\in C(T)$, podemos detectar qué "tipo" de punto es:

• Puntos "de unión": $C(T)\setminus\{p\}$ tiene tres componentes conexas si y solo si $p\in\Bbb Z\times\{0\}$
• Puntos "de círculo": $C(T)\setminus\{p\}$ es conexo si y solo si $p$ está en uno de los círculos adjuntos (pero no en el punto de unión)
• Puntos "de rayo": $C(T)\setminus \{p\}$ tiene dos componentes y una de ellas no contiene puntos de unión (o equivalentemente: es homeomorfa a $\Bbb R$) si y solo si $p$ está en uno de los rayos adjuntos (pero no en el punto de unión)
• Puntos "de columna vertebral": $C(T)\setminus \{p\}$ tiene dos componentes y ambas contienen (infinitos) puntos de unión si y solo si $p\in(\Bbb R\setminus\Bbb Z)\times\{0\}$

El caso de los puntos de unión se puede dividir aún más:

• Puntos "$T$": $p$ es un punto de unión en la clausura del conjunto de puntos de círculo
• Puntos "$T^c$": $p$ es un punto de unión en la clausura del conjunto de puntos de rayo

También, podemos recuperar la "entremedio" entre puntos de unión: Si $p_1,p_2,p_3$ son puntos de unión, entonces $p_2$ está entre $p_1$ y $p_3$ si y solo si $p_1$ y $p_3$ están en componentes diferentes de $C(T)\setminus\{p_2\}$.

Entonces supongamos que $f\colon C(T)\to C(T')$ es un homeomorfismo. Por la clasificación anterior de puntos, esto induce una biyección de $\Bbb Z\times\{0\}$ consigo misma - y mediante identificación: de $\Bbb Z$ consigo mismo. Como esta biyección respeta la "entremedio", debe ser de la forma $n\mapsto \pm n+k$ con $k\in\Bbb Z. Además, esta biyección debe respetar el "$T$-ness", es decir, debe inducir una biyección $T\to T'$. Esto hace que $T'=\pm T+k$. $\square$

Lema 2. Supongamos que $T\subseteq T'\subseteq \Bbb Z$. Entonces existe una biyección continua $C(T)\to C(T')$.

Prueba. Podemos definir $f\colon C(T)\to C(T')$ dejando que sea la identidad, excepto en los rayos $\{n\}\times [0,\infty)$ con $n\in T'\setminus T$, donde "envolvemos" el rayo como $$(n,y)\mapsto \bigl(n+\tfrac 13 \sin h(y),\tfrac13-\tfrac13\cos h(y)\bigr),$$ donde $h$ es un homeomorfismo $[0,\infty)\to [0,2\pi)$, por ejemplo $h(t)=\frac{2\pi t}{1+t}$. $\square$

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Ahora podemos resolver el problema original: Sea $$A = C(\Bbb N_0), \quad B=C(\Bbb N_0\cup\{-2\}), \quad B'=C(\Bbb N_0\setminus\{1\}).$$ Por el lema 2, tenemos biyecciones continuas $A\to B$ y $B'\to A. Por el lema 1, $B\approx B'$ y $A\not\approx B$.

Answer 2

Esta no es una respuesta completa, pero me gustaría compartir mi imagen aquí. Aquí estoy tratando de dibujar dos conjuntos que están conectados y existe un mapeo continuo biyectivo entre ellos, pero no son homeomórficos.

Aquí estoy dibujando estos dos conjuntos $A$ y $B$ (la línea roja aquí significa que estoy excluyendo el $eje y$ excepto el origen).

Mi primera afirmación es que no son homeomórficos.

Si son homeomórficos, entonces la imagen de un círculo debería ser un círculo. Así que la secuencia creciente (de diámetros) de círculos en $B$ debería mapearse a círculos en el aro Hawaiano de $A$, pero luego podemos sacar un conjunto discreto infinito de esos círculos crecientes cuya imagen debería ser discreta, lo cual no es posible, por lo tanto contradicción.

Ahora podemos definir un mapeo continuo biyectivo de $A$ a $B$ en el siguiente sentido ... mapeamos el pendiente hawaiano en sí mismo por un homeomorfismo, y luego mapeamos alternativamente líneas biyectivamente en una copia de círculos y el resto de las líneas se mapean biyectivamente en líneas. Así que esto dará una biyección continua de $A$ a $B.

Para obtener una biyección continua de $B$ a $A$, hacemos lo siguiente ... mapear líneas infinitas en sí mismas de manera homeomórfica, y mapear círculos grandes de manera homeomórfica en los círculos alternativos en contracción, y mapear los círculos de los pendientes hawaianos de manera homeomórfica en esos otros círculos alternativos.