Sea $(M,g)$ una variedad Riemanniana y consideremos el Hamiltoniano \begin{equation*} \begin{array}{rcl} H:T^*M & \rightarrow&\mathbb{R} \\ (q,p) & \mapsto&H(q,p):=\frac{1}{2}g^{ij}(q)p_ip_j. \end{array} \end{equation*} Nos gustaría mostrar que el campo vectorial Hamiltoniano $X_H:T^*M\rightarrow TT^*M$ genera el flujo geodésico.
Podemos calcular explícitamente $X_H$, ya que sus componentes satisfacen las ecuaciones de Hamilton: \begin{equation*} X_H=\dfrac{\partial H}{\partial p_j}\dfrac{\partial}{\partial q^j}-\dfrac{\partial H}{\partial q^j}\dfrac{\partial}{\partial p_k}=g^{ij}p_i\dfrac{\partial}{\partial q^j}-\frac{1}{2}\dfrac{\partial g^{ij}}{\partial q^k}p_ip_j\dfrac{\partial}{\partial p_k}. \end{equation*} Podemos ver que el siguiente campo vectorial $Y:TM\rightarrow TTM$, sobre $TM$ genera el flujo geodésico: \begin{equation*} Y(q,\dot{q}):=\dot{q}^i\dfrac{\partial}{\partial q^i}-\Gamma^j_{lk}\dot{q}^l\dot{q}^k\dfrac{\partial}{\partial\dot{q}^j}. \end{equation*} De hecho, demostramos que sus curvas integrales son geodésicas.
Sea $\gamma:\mathcal{I}\rightarrow TM$, con $\gamma(t):=(\alpha(t),\beta(t))$, entonces \begin{equation*} \dot{\gamma}(t)=\dot{\alpha}^i(t)\dfrac{\partial}{\partial q^i}+\dot{\beta}^j(t)\dfrac{\partial}{\partial\dot{q}^j}, \end{equation*} así que $Y(\gamma(t))=\dot{\gamma}(t)$ $\iff$ se cumplen lo siguiente \begin{equation*} \left\{\begin{array}{ll} \dot{\alpha}^i(t)=\beta^i(t)& \\ \dot{\beta}^j(t)=-\Gamma^j_{lk}\beta^l(t)\beta^k(t)& \end{array}\right. \end{equation*} Esta es la ecuación geodésica y así se prueba que las curvas integrales de $Y$ son geodésicas.
El problema es que $Y$ es un campo vectorial sobre $TM$, mientras que en el formalismo Hamiltoniano, $X_H$ es un campo vectorial sobre $T^*M$. ¿Cómo están relacionados $X_H$ y $Y$? ¿Cómo podemos mostrar que $X_H$ genera el flujo geodésico al igual que $Y$ lo hace? Gracias a todos.
P.D. ¿Es suficiente demostrar que las curvas integrales de $X_H$ satisfacen la ecuación geodésica en el fajo cotangente? ¿Pero entonces, cómo se ve en el fajo cotangente?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
A lo largo de ello usaré $x=x^1,\dots,x^n$ como coordenadas locales en $M$, $(x,v)$ como coordenadas locales inducidas en $TM$, y $(x,p)$ como coordenadas locales inducidas en $T^*M$ (con índices inferiores para $p_i$ y todos los demás superiores).
Tu pregunta básicamente está preguntando sobre la correspondencia entre las formulaciones Hamiltoniana y Lagrangiana de las ecuaciones geodésicas. Para una EDO de segundo orden general, la correspondencia es la siguiente: Dada una Lagrangiana $L:TM\to\mathbb{R}$, está asociada a $L$ una transformación de Legendre $F_L:TM\to T^*M$ dada por $$ F_L(x,v)=\left(x,\frac{\partial L}{\partial v}\right) $$ Siempre que $F_L$ sea un isomorfismo, podemos reescribir todo el problema en el fibrado cotangente en términos de un Hamiltoniano $H(x,p)=p_idx^i(F_L^{-1}(x,p))-L(F_L^{-1}(x,p))$. Después de la reescritura, las ecuaciones de Euler-Lagrange corresponden a las ecuaciones de Hamilton. Escribiendo ambos en términos de campos vectoriales, el campo vectorial de Euler-Lagrange $X_L$ está relacionado con el campo vectorial Hamiltoniano $X_H$ por $X_H=dF_LX_L$.
En el caso de la ecuación geodésica, la Lagrangiana es $L(x,v)=\frac{1}{2}g_{ij}(x)v^iv^j$, por lo que la transformación de Legendre $F_L$ es simplemente el isomorfismo musical $\flat:TM\to T^*M$, dada en coordenadas por $\flat(x,v)=(x,g_{ij}(x)v^j)$. Su inverso es dado por $\sharp(x,p)=(x,g^{ij}(x)p_j)$, y su diferencial es $$ d\flat\left(\frac{\partial}{\partial x^i}\right)=\frac{\partial}{\partial x^i}+\frac{\partial g_{jk}}{\partial x^i}v^k\frac{\partial}{\partial p_j}\ \ \ \ \ \ \ d\flat\left(\frac{\partial}{\partial v^i}\right)=g_{ij}\frac{\partial}{\partial p_j} $$ Ya has escrito los dos campos vectoriales en coordenadas, así que verificar que $d\flat X_L=X_H$ es simplemente un cálculo.
