¿Por qué es cierto que $S'(t)/S(t) = d log(S(t)) / dt$?

Question

Me encontré con esta identidad en la derivación de la tasa de riesgo en el análisis de supervivencia.

Answer 1

$$\frac{\mathrm d \log(t)}{\mathrm d t}=\frac{1}{t}$$

Así que: (aplicar la regla de la cadena)

$$\frac{\mathrm d \log(S(t))}{\mathrm d t}=\frac{1}{S(t)}S'(t).$$

Answer 2

Para encontrar la derivada de $\log(S(t))$, comienza por igualarlo a $y$. Podemos transformar $y=\log(S(t))$ en $S(t)=e^y$, por la definición del logaritmo natural. Diferencia ambos lados:

$$ \begin{align*} S'(t) &= e^y \cdot \frac{dy}{dx} \\ S'(t) &= e^{\log(S(t))} \cdot \frac{dy}{dx} \\ S'(t) &= S(t) \cdot \frac{dy}{dx} \\ \frac{S'(t)}{S(t)} &= \frac{d[\log(S(t))]}{dx} \end{align*} $$

como se deseaba.