He estado estudiando geometría diferencial por mi cuenta durante algún tiempo. He estudiado una buena cantidad de la teoría general básica y he pasado por muchos de los ejercicios de varios libros de texto.
Últimamente me he dado cuenta de lo inmenso (y abrumador) que es realmente la geometría diferencial. Creo que tengo un buen entendimiento de los objetos básicos. Por ejemplo, puedo cambiar de una descripción global a una local con comodidad, y hacer la mayoría de los cálculos simbólicos utilizando los objetos básicos de la teoría y no confundirme sobre lo que estoy haciendo, ya que entiendo las operaciones y el contexto (por ejemplo, demostrando el teorema fundamental de la geometría Riemanniana, demostrando propiedades generales de las conexiones y sus tensores de curvatura, demostrando varias identidades sobre diferentes derivaciones, demostrando el teorema de Frobenius etc.).
Mi problema radica en ejemplos y cálculos concretos. He tenido poca o ninguna experiencia con ellos y francamente me asustan. Los únicos ejemplos con los que he trabajado antes son esferas y espacios proyectivos (y un poco de algunos grupos de matrices y grassmanianos). Y aun con ellos siento que mi experiencia es bastante breve. La mayoría de los problemas de los libros de texto que resolví eran teoría general, lo cual es genial y gratificante, pero siento que estoy desequilibrado en este momento.
¿Por qué el conjunto de ejemplos que he encontrado hasta ahora en los libros de texto es tan pequeño?
¿Es el caso que necesitas mucha maquinaria antes de poder realmente abordar más ejemplos?
¿Qué me recomendarías hacer?
Editar: Aquí están los libros principales de los que he estudiado (admito que no fui completamente exhaustivo, sin embargo, rara vez omitía un problema de ejercicio de un capítulo que estuve leyendo):
- guilliam and pollack
- Liviu - geometría de variedades (aproximadamente el primer tercio del libro).
- Jefferey Lee - variedades y geometría diferencial (hasta el capítulo 8).
