Calculando la especificación de la localización $R_P$

Question

Estoy estudiando un primer curso de álgebra conmutativa y actualmente estoy trabajando en algunos ejercicios sobre el cálculo de $Spec(R_P)$, donde $R_P = R[(R\backslash P)^{-1}]$ es la localización de $R$ en un ideal primo $P$. Desafortunadamente, no estoy seguro de estar progresando mucho.

Aquí tienes un ejemplo:

$R = K[x,y]/(xy)$ ($K$ un campo), y $P = (x-1, y)$.

Lo que estoy pensando es crear un homomorfismo $\phi : R_P \rightarrow R$ (que creo que es inyectivo), a partir del cual puedo inducir un homomorfismo de conjuntos $\phi^* : Spec(R) \rightarrow Spec(R_P)$, que también creo que es inyectivo, dado que $\phi$ es inyectivo.

Intenté calcular $Spec(R)$ y creo que es $\{ (x), (y) \}$. Esto me sugiere que $Spec(R_P)$ está formado por dos ideales, y creo que sería $\{ (0), (x-1) \}$.

Como probablemente puedas adivinar, no estoy muy seguro de todo esto, pero es el mejor intento que tengo hasta ahora. Cualquier consejo sería muy apreciado; ¡gracias!

Answer 1

En general no hay un homomorfismo $R_P \to R$. Hay un homomorfismo $R \to R_P$ y esto induce un mapa $\mathrm{Spec} \ R_p \to \mathrm{Spec} \ R.

Para calcular $\mathrm{Spec} \ R_P$, el siguiente es un teorema importante sobre localizaciones que deberías intentar probar por ti mismo:

Teorema. Si $S \subseteq R$ es un conjunto multiplicativo, entonces los ideales primos de $S^{-1}R$ están en una correspondencia uno a uno con los ideales primos de $R$ que no intersectan a $S.

(Los mapas de la correspondencia están dados por la extensión y contracción de ideales a través del mapa natural $R \to S^{-1}R$ dado por $a \mapsto \frac{a}{1}.)

Aplicando esto a tu situación, dice que los ideales primos de $R_P$ corresponden a los ideales primos de $R$ que están contenidos en $P$. En tu ejemplo, calculaste $\mathrm{Spec} \ k[x, y]/xy = \{(x), (y)\}$. De hecho, es $\mathrm{Spec} \ k[x, y]/xy = \{(x, f(y)), (y, g(x))\}$ donde $f$ y $g$ varían sobre todos los polinomios irreducibles y también $0$.

Para ver esto, nota que $xy = 0$ está contenido en cada ideal primo, por lo que cada ideal primo contiene o bien a $x$ o a $y$. Si contiene a $x$, entonces corresponde a un ideal primo de $$(k[x, y]/xy)/x \simeq k[x, y]/(x, xy) = k[x, y]/(x) \simeq k[y]$$ y los ideales primos de $k[y]$ son de la forma $(f)$ donde $f$ es irreducible. El argumento para cuando $P$ contiene a $y$ es simétrico.

Ahora, $x$ no está contenido en $P$ y $y$ sí lo está. Nota que $g(x)$ está contenido en $P$ si y solo si $x - 1$ divide a $g(x)$. Como $g(x)$ es o bien $0$ o irreducible, esto significa que $g(x)$ es o bien $0$ o $x - 1$.

Por lo tanto, $\mathrm{Spec} \ (k[x, y]/xy)_P = \{(y), (y, x - 1)\}$.

Answer 2

$R_P=k[x,y]_P/(xy)=k[x,y]_P/(y)\simeq k[x]_{(x-1)}$, y el último anillo tiene claramente solo dos ideales primos: $(0)$ y $(x-1)k[x]_{(x-1)}.