¿Existe una estrategia para cambiar los límites de $\infty$ a $-\infty$?

Question

Pregunté recientemente en esta pregunta cómo usar la definición de

$$e:= \lim_{x\to\infty}\left( 1+\frac1x \right)^x$$

para mostrar que

$$\lim_{x\to -\infty}\left( 1+\frac1x \right)^x = e.$$

Una respuesta útil dijo que

$$\left(1+\frac1{\eta}\right)^\eta = \left(\frac1{\left(1+\frac1{-(\eta+1)}\right)^{-(\eta+1)}}\right)^{-\eta/(\eta+1)}$$

y $-(\eta + 1) \xrightarrow[]{\eta \to -\infty} \infty$.

Me pareció una forma brillante de resolver el problema, y me pregunté cómo se podría llegar a ella. ¿Es la reorganización hecha en esta respuesta una instancia de una estrategia más general, o es más o menos simplemente jugar hasta que se obtenga la forma correcta?

Answer 1

Pista : El límite dado es de la forma $1^\infty$, es una forma indeterminada. Puedes echarle un vistazo a esto para encontrar el límite en tales casos.

¿Por qué se considera que $1^{\infty}$ es una forma indeterminada?

Answer 2

En general, si $h(x)=1+O(x^{-2})$ entonces $\lim_{x\to\infty} h(x)^x = 1$.

Ahora, sea $h(x)=\left(1-\frac{1}{x^2}\right)=\left(1-\frac{1}{x}\right)\left(1+\frac 1x\right)$.

Dado que $h(x)^x\to 1$ cuando $x\to\infty$ y $(1+1/x)^x\to e$ cuando $x\to\infty$, tenemos que $\left(1-\frac 1x\right)^x\to \frac{1}{e}$ cuando $x\to\infty$.

Pero entonces $\left(1-\frac1x\right)^{-x}\to e$ cuando $x\to\infty$. Reemplazando $x$ con $-x$, vemos que:

$$\lim_{x\to -\infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e$$

Entonces lo único que tienes que probar es la primera afirmación.