No lineal de la ecuación del calor $u_{t} = \Delta(u^{4})$

Question

Considere la posibilidad de la no lineal de la ecuación del calor $u_{t} = \Delta(u^{4})$$\{x \in \mathbb{R}^{3}: |x| < 1\}$$u = 0$$\{x \in \mathbb{R}^{3}: |x| = 1\}$. El problema en el que estoy trabajando es para mostrar que todas las soluciones a este PDE tienden a cero (pointwise) como $t \rightarrow \infty$.

La ecuación parece el medio poroso ecuación así que pensé en ver cómo la Barenblatt solución se deriva, pero el problema es que esto no cubre todas las soluciones, así que estoy pensando que en general hay un argumento para probar el resultado anterior.

Answer 1

Deje $v = u^4$ y la reescritura de la PDE en términos de $v$ para obtener: $$ v^{-3/4} v_t = \Delta v. $$ Deje $\;v = A(t) B(x,y,z)\;$ y las variables independientes para obtener: $$ A' = 4^{7/4} c \quad \mbox{y} \quad B^{3/4} \Delta B = c \quad \mbox{para una constante } c . $$ El DE en $A$ tiene la solución $\;A(t)^{3/4} = -\frac{4/3}{4 c t + k}\;$ por una constante $k$. Así que cuando $t$ va al infinito $A$ $0$ y por lo tanto también se $v$$u$.