Muestra que existe exactamente un número $\alpha$ donde $0 \le \alpha < 210$ que resuelve el sistema de ecuaciones de congruencia.

Question

Demuestra que existe precisamente un número $\alpha$ donde $0 \le \alpha < 210$ que resuelve el sistema de ecuaciones de congruencia:

$x^2 + x \equiv 1 \pmod 5$

$x^2 \equiv 3 \pmod 6$

$x \equiv 1 \pmod 7$

Sé que $2$ es el único número $< 5$ que resuelve $x^2 + x \equiv 1 \pmod 5$ y $0, 1, 3, 4$ son números $< 6$ que resuelven $x^2 \equiv a \pmod 6$ donde $0 \le a < 6$.

Así que en resumen sabemos que $x$ debe cumplir con los siguientes criterios: $[x]_5 = [2]_5$, $[x]_6 = [3]_6$ y $[x]_7 = [1]_7$.

También debo demostrar que $x^2 - 6y^2 = 2$ no tiene solución $(x,y) \in \mathbb Z^2$.

Answer 1

Pista $\ $ Ya has reducido las congruencias cuadráticas a congruencias lineales equivalentes, por ejemplo, has demostrado que $\rm\ mod\ \color{#0A0}6\!:\ x^2\equiv 3\iff x\equiv 3.\:$ Así que reemplazar las congruencias cuadráticas por sus congruencias lineales equivalentes produce un sistema equivalente de forma lineal $\rm\ x \equiv a_k\pmod{ m_{k}},\ $ donde los $\rm\:m_k = 5,6,7\:$ son primos entre sí. Por CRT (Teorema Chino del Residuo) hay una solución que, además, es única mod $\,5\cdot 6\cdot 7 = 210.\ \ $ QED

Para la segunda parte, ya has calculado los $\rm\color{blue}{cuadrados}$ mod $\,\color{#0a0}6,$ que no incluyen $\color{#c00}2.$ ¿Qué implica esto cuando examinas tu ecuación $\rm\,(mod\ \color{#0a0}6)$ $\rm\ \color{blue}{x^2} - \color{#0a0}6\,y^2\! = \color{#C00}2\ $

Observación $\ $ Nota que no es necesario calcular la solución. Más bien, el problema solo requiere mostrar que hay una solución que es única mod $\,210,\,$ lo cual sigue inmediatamente por CRT.

Answer 2

EDITAR: ajustando a la pregunta editada

Podemos adoptar el siguiente método

$\displaystyle x^2\equiv3\pmod6\iff x\equiv3\pmod6\ \ \ (1)$

$\displaystyle x^2+x\equiv1\pmod5\implies 4x^2+4x\equiv4\pmod5\iff(2x+1)^2\equiv0$ $\displaystyle\iff 2x+1\equiv0\equiv x\equiv2\pmod5\ \ \ \ (2)$

$\displaystyle x\equiv1\pmod7 \ \ \ \ (3)$

Luego podemos aplicar de forma segura Teorema del Resto Chino (CRT) en $(1),(2),(3)$

Answer 3

Conocemos que $x^2 + x \equiv 1 (\mod 5)$ tiene solución $2+5k = [2]_5$ y $x^2 \equiv 3 (\mod 6)$ tiene solución $3+6k = [3]_6$ y $x \equiv 1 (\mod 7)$ tiene solución $1+7k = [1]_7.

También $\gcd(5,6,7) = 1$. Así que tenemos las siguientes congruencias:

$$X \equiv 2 (\mod 5)$$ $$X \equiv 3 (\mod 6)$$ $$X\equiv 1(\mod 7)$$

Al resolver estas usando el CRT obtenemos $X = -363 \mod 210 = 57$ como solución en el rango de $0$ a (no incluyendo $210$).

Para mostrar que $$x^2-6y^2 = 2$$ no tiene solución, asumimos que $(x,y) \in \mathbb Z^2$ es una solución. Luego $[x^2-6y^2]_k = [2]_k$ para cualquier $k \in \mathbb N - \{0\}$ por igualdad. Tomando $k=3$ obtenemos $[x^2]_3 = [2]_3$ lo cual no tiene solución para $x \in \mathbb Z$, una contradicción de que $(x,y) \in \mathbb Z^2$ fuera una solución.