¿Puede ser abierta la frontera de un subconjunto?

Question

Sea $X$ un espacio topológico y $A$ un subconjunto de $X. ¿Puede $\partial A$ ser un subconjunto abierto de $X$?

Por supuesto que la respuesta es no si $A$ fuera cerrado; es decir $\partial A\subset A$, porque en este caso tendríamos $int(\partial A)\subset int(A)$ y, por lo tanto, por definición de $\partial A$, ningún punto de $\partial A$ puede estar en $int(\partial A)$ porque en ese caso tendríamos un punto en $\partial A$ que también está en $int(A)$, algo que no está permitido.

Ahora, ¿qué pasa si $A$ no es cerrado, es decir, si hay puntos de frontera en $X$ respecto a $A$ que no están contenidos en $A$?

Answer 1

Recuerda que la frontera $\partial A$ se define como $\overline A - \operatorname{int}(A) = \overline A \cap \operatorname{int}(A)^c$. Dado que $\operatorname{int}(A)$ es abierto, su complemento es cerrado. Por lo tanto, la frontera de cualquier conjunto es una intersección de conjuntos cerrados, que es cerrada.

Editar: Como se señaló en los comentarios, no he abordado tu pregunta. Como estoy seguro de que sabes, los conjuntos pueden ser tanto abiertos como cerrados en un espacio topológico. De hecho, siempre hay al menos dos conjuntos que son tanto abiertos como cerrados: el espacio entero y el conjunto vacío. Con esto en mente, considera $\mathbb Q \subset \mathbb R$.

Answer 2

Si $X$ es un espacio discreto, entonces todo subconjunto de $X$ es abierto. En particular, todo borde de cada subespacio es abierto.

También, al ver $\Bbb Q$ como un subespacio de $\Bbb R$ equipado con la topología clásica, tenemos $$ \partial\Bbb Q=\bar{\Bbb Q}\setminus\Bbb Q^\circ=\Bbb R\setminus\varnothing=\Bbb R $$

Answer 3

Puede ser. Por ejemplo, considera la topología $\mathcal{T} = \mathcal{P}(X)$.