Sean X e Y espacios topológicos y f: X $\to$ Y una función continua. El grafo de f es el conjunto $\Gamma_f $ = {(x, f (x)): $x \in X$}.
a) Demuestra que si Y es hausdorff entonces $ \Gamma_f $ es cerrado en X $ \times $ Y.
b) Demuestra que X es homeomorfo a $ \Gamma_f $ donde $ \Gamma_f $ se ve como un subespacio de X $ \times $ Y.
\====================================================================
a) Sabemos que f es continua y Y es hausdorff, por lo tanto hay un punto (x, y) fuera del grafo y existe un vecindario abierto que no intersecta el grafo. Por lo tanto, el complemento del grafo es abierto, y, por lo tanto, el grafo es cerrado.
Sea f(x) $\in$ V y y $\neq$ f(x) $\in V'$ donde V, V' son dos vecindarios abiertos disjuntos, porque Y es Hausdorff. Pero f es continua, por lo tanto, U= $f^{-1}$(V) es abierto y x $\in$ U y U $\times$ V' es un vecindario abierto de (x, y) tal que no intersecta el grafo, por lo tanto, (z, f(z))$\in U \times V'$, y eso implica que f(z) $ \in V \cap V'$.
b) Decimos que f es un homeomorfismo si f es biyectiva, continua y su inversa también es continua.
Eso es lo que he hecho hasta ahora.
