Calcular $m_Z (t)$. Verificar que $m'_Z (0)$ = $E(Z)$ y $m''_Z(0) = E(Z^2)$

Question

Sea $Z$ una variable aleatoria discreta con $P(Z = z)$ = $1/2^z$ para $z = 1, 2, 3,...

(b) Calcula $m_Z (t)$. Verifica que $m'_Z (0)$ = $E(Z)$ y $m''_Z(0) = E(Z^2)

$E(Z) = \sum_{z=1}^{\infty} z P(Z = z) =\sum_{z=1}^{\infty} \frac{z}{2^z}$ No estoy seguro de cómo proceder. $z^2$ para $E(Z^2)$

$m_z(t) = E[e^{tz}] = \sum_{z=1}^{\infty} \frac{e^{tz}}{2^z} = \sum_{z=1}^{\infty} (2e)^{tz - z} = \sum_{z=1}^{\infty} (2e)^{z(t-1)} = \frac{(2e)^{t-1}}{1-2e}

No estoy seguro si lo anterior es correcto.

Sé que después simplemente tomaría la derivada de $m_z(t)$ una y dos veces y establecería $t = 0$ para verificar pero tengo problemas para simplificar.

Answer 1

No es cierto que $$\frac{\exp(tz)}{2^z}=(2\text{e})^{tz-z}\,.$$ Puedes comprobar fácilmente que tu versión de $m_Z$ no satisface $m_Z(0)=1$. La función generadora de momentos correcta debería ser $$m_Z(t)=\sum_{z=1}^\infty\,\frac{\exp({tz})}{2^z}=\sum_{z=1}^\infty\,\left(\frac{\exp(t)}{2}\right)^z=\frac{\left(\frac{\exp(t)}{2}\right)}{1-\left(\frac{\exp(t)}{2}\right)}=\frac{\exp(t)}{2-\exp(t)}\,.$$

Debería ser fácil encontrar $m_Z'$ y $m_Z''$ ahora. En cuanto a los cálculos de $\mathbb{E}[Z]$ y $\mathbb{E}[Z^2]$, este enlace debería ser muy útil: Prueba de la igualdad $\sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{k^2}{2^k} = 6$.

Answer 2

El error es $$\frac{e^{tz}}{2^z} = (2e)^{tz - z}$$

Actualmente

$$\frac{e^{tz}}{2^z} = (\frac {e^t} 2)^z \tag{*}$$

De todos modos, enseguida, es posible que recuerdes la forma $\frac 1 {2^z}$. Es un término de una serie geométrica. ¿Conoces la distribución geométrica?

De todos modos, calculemos los momentos con la función generadora de momentos: $\forall |k| < 1$, tenemos

$$\frac 1 {1-k} = \sum_{z=0}^{\infty} k^z$$

$$\implies \frac{d}{dk} \frac 1 {1-k} = \frac{d}{dk} \sum_{z=0}^{\infty} k^z$$

$$\implies \frac{d}{dk} \frac 1 {1-k} = \sum_{z=0}^{\infty} \frac{d}{dk} k^z$$

$$\implies \frac 1 {(1-k)^2} = \sum_{z=0}^{\infty} zk^{z-1}$$

$$\implies \frac 1 {(1-k)^2} = \sum_{z=1}^{\infty} zk^{z-1}$$

$$\implies \frac k {(1-k)^2} = \sum_{z=1}^{\infty} zk^{z}$$

$$\implies \frac 1 2 {(1-\frac 1 2)^2} = \sum_{z=1}^{\infty} z(\frac 1 2)^{z} = E[Z]$$

¿Cuál es la lección moral? Reconocemos que $$\sum_{z=1}^{\infty} z(\frac 1 2)^{z} = E[Z]$$ tiene que ver con la derivada o integral de una serie geométrica. De manera similar, para el segundo momento tenemos, $$\sum_{z=1}^{\infty} z^2(\frac 1 2)^{z} = E[Z^2],$$ donde calculamos de la siguiente manera:

$$\frac{d}{dk} \frac k {(1-k)^2} = \frac{d}{dk} \sum_{z=1}^{\infty} zk^{z}$$

$$\implies \frac{d}{dk} \frac k {(1-k)^2} = \sum_{z=1}^{\infty} \frac{d}{dk} zk^{z}$$

$$ = \sum_{z=1}^{\infty} \frac{d}{dk} zk^{z} = \sum_{z=1}^{\infty} z^2k^{z-1}$$

$$\therefore, ([k][\frac{d}{dk} \frac k {(1-k)^2}])|_{k=\frac 1 2} = \sum_{z=1}^{\infty} z^2k^{z}|_{k=\frac 1 2} = E[Z^2]$$

Ahora, ¿cómo hacemos esto de la forma de la función generadora de momentos? Volvamos a $(*)$

$$M_Z(t) = \sum_{z=1}^{\infty} \frac{e^{tz}}{2^z} = \sum_{z=1}^{\infty} (\frac {e^t} 2)^z = \frac{\frac {e^t} 2}{1 - \frac {e^t} 2}$$

Esto coincide con la fmg para la distribución geométrica en Wiki con $p=\frac 1 2$.

Así que simplemente diferenciamos y sustituimos:

$$M_Z'(t) = \frac{d}{dt} \frac{\frac {e^t} 2}{1 - \frac {e^t} 2}$$

$$\therefore, M_Z'(0) = [\frac{d}{dt} \frac{\frac {e^t} 2}{1 - \frac {e^t} 2}]|_{t=0}$$

$$M_Z''(t) = \frac{d}{dt} \frac{d}{dt} \frac{\frac {e^t} 2}{1 - \frac {e^t} 2}$$

$$\therefore, M_Z''(0) = [\frac{d}{dt} \frac{d}{dt} \frac{\frac {e^t} 2}{1 - \frac {e^t} 2}]|_{t=0}$$