¿La categoría de bimódulos simétricos sobre un anillo conmutativo está cerrada bajo extensiones?

Question

Sea $A$ un anillo conmutativo, y considera la categoría de bimódulos sobre $A$.

Un $A$-bimódulo $M$ se llama simétrico si $a\cdot m = m \cdot a$ para todo $a \in A$, $m \in M$.

¿Está cerrada la categoría de bimódulos simétricos sobre $A$ bajo extensiones?

Es decir, dado una secuencia exacta de $A$-bimódulos

$0 \to M \to N \to K \to 0$

donde $M, K$ son simétricos, ¿debe ser $N$ también un módulo simétrico sobre $A$?

Answer 1

Contraejemplo más fácil que el que dio Mare:

Sea $A=k[X]$ y $N:=k^2$ donde $X$ actúa como $id_N$ a la derecha y como $\begin{pmatrix}1&1\\&1\end{pmatrix}$ a la izquierda. Entonces $M:=\langle e_1\rangle$ es un subbimódulo simétrico ( $X$ actúa como $id$ en ambos lados) y el cociente $K:=M/N=\langle e_2+M\rangle$ es un bimódulo simétrico (nuevamente, $X$ actúa como $id$ en ambos lados), pero $N$ no es simétrico.

Answer 2

Aquí se muestra un contraejemplo encontrado por la computadora:

Sea $A=k[x]/(x^2)$ para un campo $k$. Sea $B:=A^{op} \otimes_k A$ el álgebra envolvente de $A$. La categoría de módulos de $B$ es isomorfa a la categoría de $A$-bimódulos.

Tomemos $M=A$ como un bimódulo y $S$, el único módulo simple de $B$.

Un bimódulo $N$ es simétrico si y solo si $Hom_{A^e}(A,N) \cong N$.

$A$ y $S$ son simétricos. Ahora mi computadora me dice que hay una única secuencia exacta no dividida, salvo isomorfismos, $0 \rightarrow A \rightarrow W \rightarrow S \rightarrow 0$ (lo que significa que la dimensión de $Ext_{A^e}^1(S,A)$ es igual a 1), donde $W$ es isomorfo al radical de Jacobson de $B$.

Tenemos que $Hom_{A^e}(A,W)$ es de 2 dimensiones, pero $W$ es de 3 dimensiones y por lo tanto $W$ no puede ser simétrico.

Answer 3

Aquí hay un argumento abstracto general que muestra que la subcategoría de bimódulos simétricos nunca está cerrada por extensiones en caso de que $A$ sea un álgebra de Frobenius conmutativa de dimensión finita que no es semisimple:

Sea $A$ tal álgebra y $B=A \otimes_K A$ su álgebra envolvente y supongamos que la subcategoría de bimódulos simétricos está cerrada bajo extensiones. El módulo simple $S$ es simétrico y por lo tanto la subcategoría de bimódulos simétricos de dimensión finita es igual a la categoría de módulos de $B$. Por lo tanto, también contiene a $B$, pero $Hom_B(A,B) \cong D(A) \cong A$ tiene una dimensión menor que $B$ y por lo tanto $B$ nunca es simétrico. Esto es una contradicción y por lo tanto la subcategoría de bimódulos simétricos nunca está cerrada bajo extensiones.