$\;\;\;\;$ En el rango $\text{Im}(\Psi):=\{f\in\mathbf{C^*[0,1)}:\lim_{x\to 1}\;f(x)\;\text{exists}\}$ de la restricción del mapa $\mathbf{C[0,1]}$ $\Psi:\;f\mapsto f|_{[0,1)}$ tallamos un ejemplo de un subespacio cerrado de dimensión infinita $\mathcal U$ en el cual la convergencia puntual y la convergencia en norma $(\Vert\cdot\Vert_\infty)$ se demuestran ser una y la misma, lo cual es suficiente porque $\mathcal U$ y $\text{Im}(\Psi)$ están incrustados en $\mathbf{C[0,1]}$ a través del isomorfismo de anillos isométrico $\Psi^{-1}$.
$\;\;\;\;$ Fije una sucesión estrictamente monótona $(x_k)_{k\geq 0}$ con $x_0=0$ y $\lim_{k\to\infty}\;x_k=1$. Sea $\mathcal U$ el espacio de todas las funciones lineales por partes $f$ con las siguientes dos propiedades :
$(\mathbf I)$ $f$ es lineal por partes con una partición del dominio $\mathcal A:= \{I_k : k\geq 0\}$ donde $I_k:=[x_k,x_{k+1})$
$(\mathbf {II})$ $\forall k\geq 0\;|f^{(k)}|\geq 2|f^{(k+1)}|$ donde $f^{(k)}$ denota el valor constante de $f'(x)$ en $(x_k,x_{k+1})$.
$\;\;\;\;$ Como siempre, la convergencia en norma implica la convergencia puntual pero ahora suponga que la sucesión de $\mathcal U$ $(f_n)_{n\geq 0}$ converge puntualmente a $F$. $F|_{I_k}$ es siempre lineal ya que es tanto el límite funcional puntual como en norma $(||\cdot||_\infty)$ de la secuencia de funciones lineales $(f_n|_{I_k})_{n\geq 0}$. $F$ es continua ya que $\lim_{x\to {x_{k+1}}}f_n|_{I_k}(x)=f_n|_{I_{k+1}}(x_{k+1})$ garantiza $\lim_{x\to {x_{k+1}}}F|_{I_k}(x)=F|_{I_{k+1}}(x_{k+1})$ implicando continuidad en cada $x_k$.
$\;\;\;\;$ Por lo tanto, $F$ satisface la propiedad $\mathbf{(I)}$. $F$ debe satisfacer la propiedad $\mathbf{(II)}$, es decir $|F^{(k)}|\geq 2|F^{(k+1)}|$, porque $|f_n^{(k)}|\geq 2|f_n^{(k+1)}|$. Por lo tanto, $F\in\mathcal U$. Por lo tanto, $\mathcal U$ debe ser cerrado puntualmente.
$\;\;\;\;$ Finalmente, es suficiente mostrar que $f_n\to F$ en norma. Fije $\epsilon\in (0,1)$. Fije $K\in\Bbb N$ tal que tanto $1-x_K<\frac{\epsilon}{2}$ como $|f_n^{(K)}|,|F^{(K)}|<\frac{1}{2}$.
Fije $N\in\Bbb N$ tal que $\;\;n>N\implies\forall k\leq K\;\;|f_n(x_k)-F(x_k)|<\frac{\epsilon}{2}$ $$\text{i.e.}\;\;\;\;\; n>N\implies\Vert f_n|_{[0,x_K]}-F|_{[0,x_K]}\Vert_\infty<\frac{\epsilon}{2}$$ Dado que $|f_n'(x)-F'(x)|\leq 1$ en $(x_K,1)$, excepto en $x=x_k\;\;(k>K)$, debemos tener $$n>N\implies\Vert f_n|_{[x_K,1)}-F|_{[x_K,1)}\Vert_\infty\leq |f_n(x_K)-F(x_K)|+(1-x_K)<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}$$ $$\therefore\;n>N\implies\Vert f_n-F\Vert_\infty<\epsilon$$ $$\therefore\;f_n\to F\;\;\text{en norma}$$
