Números críticos de la función: $x\sqrt{5-x}$

Question

Deja que f(x) = $$\displaystyle f(x) = x\sqrt{5-x} $$

En el intervalo: [-6,4]

Los números críticos son los valores de x en el dominio de f para los cuales f'(x) = 0 o f'(x) es indefinido.

Derivada de la función: $$ \frac{1}{2} \cdot x (5-x)^{\frac{-1}{2}} \cdot -1$$

$$ \frac {\frac{-x}{2}}{\sqrt{5-x}}$$

$f'(x) = 0$, cuando $x = 0, $ y es indefinido cuando x= 5

Sustituyendo las raíces de la función derivada y los extremos del intervalo en la función original: \begin{align*} f(0) & = 0\\ f(5) & = 0\\ f(-6) & = -6\sqrt{11}\\ f(4) & = 4 \cdot 1 = 4 \end{align*}

Entonces, ¿por qué el 4 no es el valor máximo absoluto?

p.s. Supuse que el primer término va a cero al tomar una derivada por la regla del producto. Confundí d/dx x = 1, con cualquier número d/dd = 0

Answer 1

Sería mucho más fácil trabajar con $$ y^2 = x^2(5-x), x \le 5.$$ al tomar la diferencia encontramos $$ 2y \, dy = (10x - 3x^2)\, dx $$ estableciendo $\frac{dy}{dx} = 0$ obtenemos $$ x = 0,\, x = \frac{10}{3}.$$ el número crítico espurio $x = 0$ es un artefacto del cuadrado. sabemos que $y = x \sqrt{5}+\cdots$ para $x = 0+\cdots.$

Answer 2

$\dfrac{d(x\sqrt{5-x})}{dx}=\dfrac{10-3x}{2\sqrt{5-x}}$

$10-3x=0$ implica que el número crítico es $x=\dfrac{10}{3}$.

Answer 3

Su derivada es incorrecta. Use la regla del producto para separar la $x$ de la $\sqrt{5-x}$.

$$\frac{d}{dx}\left(x\sqrt{5-x} \right) =x\frac{d}{dx}\left(\sqrt{5-x} \right)+\sqrt{5-x}\frac{d}{dx}\left(x \right)$$

$$=x\frac{1}{2\sqrt{5-x}}(-1)+\sqrt{5-x}\cdot 1$$ $$=\frac{-x}{2\sqrt{5-x}}+\frac{2(5-x)}{2\sqrt{5-x}}$$ $$=\frac{10-3x}{2\sqrt{5-x}}$$

Al igualarlo a cero, se obtiene

$$x=\frac{10}3$$

Esto solo es indefinido en $x\ge 5$, lo cual no está en su intervalo de interés. Debería poder continuar desde aquí.