¿Teorema de representación para álgebras Heyting?

Question

Un teorema fundamental de Stone afirma que cualquier álgebra booleana es isomorfa a una subálgebra de las álgebras booleanas arquetípicas, es decir, los conjuntos de potencia de un conjunto $X$ (equipado con intersección, unión y complemento).

Me preguntaba si un resultado similar se aplica a las álgebras de Heyting, es decir, si es cierto o no que cualquier álgebra de Heyting (completa) es isomorfa a una subálgebra del álgebra de Heyting dada por los subconjuntos abiertos de un espacio topológico. Si este no es el caso (como sospecho), ¿hay algún prototipo de álgebra de Heyting al cual se pueda demostrar que toda álgebra de Heyting (completa o no) es isomorfa?

Gracias de antemano.

Answer 1

La dualidad de Esakia podría ser justo lo que estás buscando.

Para cada álgebra de Heyting $A$ existe un llamado espacio de Esakia $\mathscr{X}=(X, \leq, \mathscr{O})$, que es un cierto tipo de espacio topológico ordenado, tal que $A$ es isomorfo al álgebra de Heyting de conjuntos clopen de $\mathscr{X}.

Esto proporciona una equivalencia dual entre la categoría de álgebras de Heyting y la categoría de espacios de Esakia, muy similar a la conocida dualidad de Stone entre álgebras booleanas y espacios de Stone. Sin embargo, la categoría de espacios de Esakia no es una subcategoría completa de la categoría de espacios topológicos ordenados y funciones continuas y preservadoras del orden entre ellos.

Finalmente, puedes dar una descripción puramente topológica de la categoría de espacios de Esakia, en el sentido de que es isomorfa a una subcategoría (no completa) de la categoría de espacios espectrales y mapas espectrales ver Bezhanishvili et al. 2010 Teorema 7.12.