Ecuación lineal no homogénea - simplificación

Question

Pregunta:

Tres soluciones de una cierta ecuación lineal no homogénea de segundo orden son:

$\psi_1(t)=t^2$

$\psi_2(t)=t^2+e^{2t}$

$\psi_3(t)=1+t^2+2e^{2t}$

Encuentra la solución general de esta ecuación

Hay un lema en mi libro que dice que la diferencia de dos soluciones es una solución a la ecuación homogénea.

Aplicando eso:

$\psi_1(t)-\psi_2(t)=t^2-t^2-e^{2t}=-e^{2t}$

y

$\psi_2(t)-\psi_3(t)=t^2+e^{2t}-1-t^2-2e^{2t}=-1-e^{2t}$

Dado que son linealmente independientes, entonces son soluciones de la ecuación homogénea y tenemos:

$ c_1(-e^{2t})+c_2(-1-e^{2t})$

$(1). y(t)= c_1(-e^{2t})+c_2(-1-e^{2t})+t^2$

Sin embargo, estoy teniendo problemas para simplificar esta ecuación y es donde necesito ayuda. Mi clave de solución dice:

$(2). y(t)=c_1+c_2e^{2t}+t^2$

Entiendo que $t^2$ es una solución particular y que $c_1$ y $c_2$ son coeficientes pero ¿cómo simplificaron (1) a (2).

Answer 1

Los "átomos" de las tres soluciones son $1$, $t^2$ y $e^{2t}$. Lo que significa que tu EDO lineal homogénea tiene como raíces del polinomio característico al menos $\lambda=0$ con multiplicidad $3$ y $λ=2$ una vez. Esto último implica que también $t$ es una solución y tu solución homogénea general es $$ c_1+c_2t+c_3t^2+c_4e^{2t} $$ para la EDO $$ y^{(4)}-2y'''=0 $$

---

Adición: Lo anterior fue para el caso de una EDO lineal homogénea. La tarea era sobre una EDO lineal inhomogénea. En ese caso, casi has terminado con tus propias contemplaciones. Solo necesitas recolectar las constantes. Renombremos tus constantes como $d_{1,2}$, entonces la ecuación (1) se puede reescribir como $$ y(t)=d_1(−e^{2t})+d_2(−1−e^{2t})+t^2=(-d_2)·1+(-d_1-d_2)·e^{2t} + t^2 $$ Así, realizando la transformación lineal biyectiva de variables $c_1=-d_2$, $c_2=-d_1-d_2$, encuentras que la fórmula (2) es esencialmente la misma que la fórmula (1).